ℯ-day – 2/7/18

Le 7 février 2018  - Ecrit par  Jérôme Germoni Voir les commentaires

C’est aujourd’hui l’$\mathrm{e}$-day, le jour de $\mathrm{e}$. Cette constante mathématique, définie comme la somme infinie
\[\mathrm{e}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!},\]
est aussi par définition l’exponentielle de $1$. Elle vaut environ $2,\!718$, ce qui correspond à la date d’aujourd’hui écrite à l’anglaise : 2/7/18 (avec le mois avant le jour).

À cette occasion, l’équipe d’Imaginary vous propose un e-gadget qui porte bien son nom, pour chercher votre date de naissance dans les chiffres de $\mathrm{e}$ et plus...

Constante omniprésente en mathématiques (comme l’est la fonction exponentielle), on sait qu’elle est irrationnelle grâce à Leonhard Euler depuis 1739 et même transcendante grâce à Charles Hermite depuis 1873.

Pour célébrer $\mathrm{e}$, voici quelques formules où ce nombre intervient. Pour commencer, une expression élégante d’où l’on peut déduire l’irrationalité :
\[\mathrm{e}=2+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{4+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{6+\ldots}}}}}}}}.\]
Remarquer la progression dans la fraction : un $2$, puis deux $1$, puis un $4$, puis deux $1$, puis un $6$, puis deux $1$, etc. On note en général :
\[\mathrm{e}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots].\]

On peut également la relier à la star $\pi$. Voici une formule attribuée à Euler, que certains sondages présentent comme la plus belle de toutes :
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\,;\]
C’est qu’elle est consensuelle, assez élémentaire sans être triviale, et elle relie $\pi$, que l’on voit partout mais que l’on ne sait pas calculer ; $-1$, un nombre qui a longtemps défié l’imagination de l’humanité ; $\mathrm{i}$, un nombre inconcevable ; et enfin $\mathrm{e}$, bien connu dans certains cercles mais plus discret que les précédents.

Citons également cette formule approximative remarquable :
\[\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}\simeq 640\,320^3+744-7,\!4\cdot10^{-13}.\]

Devinette : sachant que $\mathrm{e}$ et $\pi$ sont transcendants, saurez-vous montrer que $\mathrm{e}+\pi$ ou $\mathrm{e}\pi$ l’est ?

Pourquoi un titre anglophone, protesterez-vous ? C’est que le jour de $\mathrm{e}$ francophone sera célébré le 2 juillet 18, bien sûr ! Et n’oubliez pas : préparez-vous aussi pour le jour de $\varphi$ !

Post-scriptum :

Merci à Sylvie Benzoni de nous avoir transmis l’annonce de l’$\mathrm{e}$-day.

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Pour citer cet article :

Jérôme Germoni — «ℯ-day – 2/7/18» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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