17 de noviembre de 2007

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 12 de marzo de 2013 à 11:17, par Étienne Ghys

    Merci beaucoup pour vos gentils commentaires.

    Je vais essayer de répondre à vos questions mais elles ne sont pas faciles.

    La grande nouveauté quand on passe à l’espace temps et à la théorie de la relativité générale est qu’on doit changer le sens du mot géométrie ! Dans le monde relativiste, certains vecteurs ont une longueur négative ! L’intuition qu’on en a prend un coup :-)

    Mais avant de passer dans ce monde relativiste, revenons en dimension 3 et à la géométrie «habituelle». Certes, il y a huit géométries intéressantes, mais quand même, les trois les plus intéressantes sont sphérique, euclidienne et hyperbolique. Pourquoi sont-elles plus intéressantes ? Parce ces trois-là sont non seulement homogènes mais aussi isotropes : toutes les directions issues d’un point jouent le même rôle : il y a des rotations qui fixent un point et qui transforment une direction quelconque en une autre. En ce sens, les trois géométries sont plus intéressantes.

    Si on passe en dimension supérieure, en restant dans le monde géométrique usuel, avec des vecteurs de longueurs positives, et si on impose les conditions homogénéité et isotropie, alors il y a des petits nouveaux qui apparaissent, qu’on appelle les espaces symétriques de rang 1. Ce sont de très belles géométries, connues de tous les géomètres.

    Alors quand on passe à la géométrie de l’espace temps, de dimension 3+1, avec une géométrie qui est comme on dit «lorentzienne» (trois signes + et un signe - dans la métrique), on entre dans un monde différent. Pour y voir clair, il faut faire des hypothèses, dont la signification physique est discutable. Par exemple homogénéité et isotropie (dans un sens un peu modifié). C’est bien arrogant de notre part de dire que l’espace-temps est homogène et isotrope alors que nous sommes coincés sur notre petite Terre et que nous n’avons fait que quelques sauts de puce sur Mars. Mais enfin, on fait ce qu’on peut, et les astrophysiciens aiment bien penser que l’espace est homogène et isotrope.

    Alors sous cette hypothèse, on peut en effet décrire toutes les géométries possibles et, là encore, les trois géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques jouent un rôle vraiment central.

    En résumé, lorsque les textes de vulgarisation ne parlent que de ces trois géométries, ils ne disent pas vraiment des bêtises... Donc, tout va bien de ce côté !

    Merci encore,

    Etienne Ghys

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