17 novembre 2007

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 18 janvier 2009 à 11:05, par Gérard Besson

    Cet article est remarquable et je le relis avec un immense plaisir. Je voudrais juste rajouter un commentaire. Je dirais que le premier coup de tonnerre doit être attribué à Hamilton. L’article séminal dans lequel il utilise le flot de Ricci pour uniformiser certaines variétés date de 1982. Il a déjà en tête d’attaquer la géométrisation ; il le dit et l’écrit plus tard. Il a même inventé la chirurgie métrique. Sa contribution est donc fondamentale. Loin de vouloir minimiser les travaux de Perelman, qui restent pour moi un monument de la géométrie, il faut insister sur la contribution de Richard Hamilton. D’une certaine manière, l’analyse était à l’affût. J’ai coutume de dire que Thurston en faisant entrer la géométrie dans la topologie de dimension 3 a ouvert la boite de Pandore ! Surtout à une époque où les travaux de S.T. Yau (entre autres) en analyse géométrique ont montré la puissance de certaines techniques.

    L’histoire du flot de Ricci est d’ailleurs encore plus riche. Certains attribuent son « invention » au physicien Daniel Friedan (peut-être pas sous la forme que nous lui connaissons en mathématiques). Lui-même dit que c’est en fait .... Jean-Pierre Bourguignon qui le premier a suggéré de construire une équation d’évolution dans le sens de cette courbure.

    On pourrait aussi rajouter un paragraphe sur l’utilisation du flot de Gage-Hamilton-Grayson pour le « débruitage » des images, par exemple. Mais je ne suis pas compétent.

    Comme le dit Étienne Ghys dans l’article que je commente, c’est l’enchevêtrement de toutes ces idées qui fait la beauté de la discipline.

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 18 janvier 2009 à 12:14, par Étienne Ghys

    Merci Gérard pour tes commentaires, avec lesquels je suis bien sûr d’accord. Comme toujours, quand on veut faire vite, on est souvent amené à simplifier à l’extrême !

    Pour les lecteurs de Images des Maths, je signale que Gérard m’a envoyé un message dans lequel il me dit qu’il va essayer d’écrire un article allant dans le sens de son commentaire, insistant sur la contribution de Hamilton en particulier :-) Il me dit également qu’il va essayer de ne pas « tomber » dans la catégorie « piste noire ». Gérard, nous t’encourageons dans ce but ! En quelque sorte un article intermédiaire entre le mien et celui que Gérard a écrit avec L. Bessières et M. Boileau.

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 3 août 2009 à 19:41, par Ilies Zidane

    Très bon article, qui [ par sa « concision » ;) ] m’a donné envie d’en savoir plus. Bravo à son auteur.

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 11 mars 2013 à 23:17, par le-nguyen.hoang

    Magnifique article, Monsieur Ghys ! Je ne comptais pas le lire d’une traite, mais il m’a constamment tenu en haleine. Comme tout bon article, il me laisse songeur, et j’ai une question à vous poser.

    J’entends souvent parler de la classification de notre espace temps selon la géométrie euclidienne, sphérique ou hyperbolique. Selon, le théorème d’uniformisation, il y a beaucoup plus de géométries possibles pour un espace en 3D. J’imagine qu’il y en a encore plus pour un espace-temps en 4D, mais les vulgarisateurs ne parlent que des trois géométries du plan. Vous pourriez m’en dire plus à ce sujet s’il-vous-plaît ? Merci !

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 12 mars 2013 à 11:17, par Étienne Ghys

    Merci beaucoup pour vos gentils commentaires.

    Je vais essayer de répondre à vos questions mais elles ne sont pas faciles.

    La grande nouveauté quand on passe à l’espace temps et à la théorie de la relativité générale est qu’on doit changer le sens du mot géométrie ! Dans le monde relativiste, certains vecteurs ont une longueur négative ! L’intuition qu’on en a prend un coup :-)

    Mais avant de passer dans ce monde relativiste, revenons en dimension 3 et à la géométrie « habituelle ». Certes, il y a huit géométries intéressantes, mais quand même, les trois les plus intéressantes sont sphérique, euclidienne et hyperbolique. Pourquoi sont-elles plus intéressantes ? Parce ces trois-là sont non seulement homogènes mais aussi isotropes : toutes les directions issues d’un point jouent le même rôle : il y a des rotations qui fixent un point et qui transforment une direction quelconque en une autre. En ce sens, les trois géométries sont plus intéressantes.

    Si on passe en dimension supérieure, en restant dans le monde géométrique usuel, avec des vecteurs de longueurs positives, et si on impose les conditions homogénéité et isotropie, alors il y a des petits nouveaux qui apparaissent, qu’on appelle les espaces symétriques de rang 1. Ce sont de très belles géométries, connues de tous les géomètres.

    Alors quand on passe à la géométrie de l’espace temps, de dimension 3+1, avec une géométrie qui est comme on dit « lorentzienne » (trois signes + et un signe - dans la métrique), on entre dans un monde différent. Pour y voir clair, il faut faire des hypothèses, dont la signification physique est discutable. Par exemple homogénéité et isotropie (dans un sens un peu modifié). C’est bien arrogant de notre part de dire que l’espace-temps est homogène et isotrope alors que nous sommes coincés sur notre petite Terre et que nous n’avons fait que quelques sauts de puce sur Mars. Mais enfin, on fait ce qu’on peut, et les astrophysiciens aiment bien penser que l’espace est homogène et isotrope.

    Alors sous cette hypothèse, on peut en effet décrire toutes les géométries possibles et, là encore, les trois géométries elliptiques, euclidiennes et hyperboliques jouent un rôle vraiment central.

    En résumé, lorsque les textes de vulgarisation ne parlent que de ces trois géométries, ils ne disent pas vraiment des bêtises... Donc, tout va bien de ce côté !

    Merci encore,

    Etienne Ghys

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 19 mars 2013 à 04:46, par le-nguyen.hoang

    Je trouve remarquable de votre part d’avoir pris le temps de répondre à mes questions avec autant d’attention ! Merci beaucoup !

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    • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

      le 18 mars 2015 à 10:03, par Refzul

      C’est l’un des articles le plus beau et que je lis le plus souvent. Je lis encore et encore pour adorer la beauté de la mathématique, plus particulièrement les géométries. Étant chercheur en génie électrique, je regrette parfois de ne pas faire une carrière de mathématicien. Mais cette page web en générale me permet de suivre ’’un petit peu’’ l’avancement de recherche dans ce domaine. Merci Étienne Ghys, merci à tous les mathématiciens qui donnent leur temps pour faire un travail de vulgarisation mathématique.

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      • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

        le 18 mars 2015 à 13:29, par Refzul

        J’ai des questions concernant le flot de Ricci, utilisé par Perelman pour démontrer son théorème. Comme écrit dans ce texte, c’est l’analogue non linéaire de la fameuse équation de la chaleur. J’arrive à comprendre comment fonctionne cette EDP avec la vidéo jointe, mais je n’arrive pas à comprendre comment on peut être sur que ce flot est vrai ? Comment on peut savoir que la courbe va évoluer en fonction de temps avec cette EDP alors que c’est un travail mathématique qu’on ne peut pas montrer par une expérimentation. Mais comment on peut accepter ça ? Merci pour votre explication.

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        • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

          le 18 mars 2015 à 18:10, par Étienne Ghys

          J’avoue ne pas trop comprendre votre question, en particulier ce que vous voulez dire par « le flot est vrai » ? Le mathématicien choisit une loi d’évolution et il laisse l’objet abstrait évoluer selon cette loi abstraite. C’est une évolution mathématique et pas physique. Alors il faut montrer que cette évolution existe mathématiquement, et ce n’est pas facile du tout...

          Etienne Ghys

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          • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

            le 18 mars 2015 à 19:47, par Refzul

            Votre explication est très claire. Donc, le flot de Ricci est une « loi » introduit intuitivement dont l’existence est démontré mathématiquement. Mais permettez-moi de vous dire ce que je ressens, celui qui est capable d’imaginer « chauffer l’espace » doit avoir un cerveau et une imagination de fou !

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            • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

              le 18 mars 2015 à 20:08, par Lê Nguyen Hoang

              Il ne s’agit pas d’être fou, mais d’être gonflé...

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      • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

        le 18 mars 2015 à 18:07, par Étienne Ghys

        Merci pour le merci !

        Etienne Ghys

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 13 juin 2018 à 18:51, par Jacquiel

    Bonjour,
    Vous écrivez :
    Toute “terre de forme patatoïdale” peut être cartographiée globalement par une sphère parfaite.

    je dirai plutôt :
    Toute “terre de forme patatoïdale” peut être cartographiée globalement par une ellipsoïde parfaite.
    Pour notre planète :
    a= 6378 km
    b= 6356.5 km
    Le célèbre François Arago a mesuré la méridienne mais un calcul précis montre que le mètre ne vaut pas 1/40 000 000 de la longueur de la méridienne.
    Il faut un grand cercle incliné sur l’équateur pour obtenir cette définition du mètre.
    Celui ci passe par les Grandes Pyramides ,Machu Pichu et l’Ile de Paques et correspond à l’équateur magnétique.
    Encore faut il savoir quadraturer l’ellipse pour calculer le périmètre de l’ellipse ce qui n’est pas toujours enseigné dans les écoles et même les grandes...
    Ensuite il devient possible de calculer la vitesse orbitale d’un vaisseau spatial
    pour exécuter des transferts d’orbite vers d’autres planètes.
    Se pose alors une question d’algorithmique :

    Vaut il mieux utiliser une fonction ellitique de seconde espèce pour calculer le périmètre d’une ellipse ou bien quadraturer l’ellipse avec un nombre d’ itération n élevé ?

    La précision en astronautique est importante. (Cf. le crash du satellite Schiaparelli sur Mars...)
    Pour un vol inter-galactique, il faut obtenir une grande précision sur les coordonnées (azimut,déclinaison,altitude) pour déterminer le point de départ d’ une géodésique reliant la Terre à une autre planète éloignée.
    Riemann serait il d’un grand secours pour résoudre ce problème le plus simplement possible ?

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    • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

      le 17 juin 2018 à 08:51, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Merci pour votre message.

      Je me suis probablement mal exprimé dans mon article alors il est peut-être utile que je précise les choses.

      Je confirme ce que j’ai écrit :

      « Toute “terre de forme patatoïdale” peut être cartographiée globalement par une sphère parfaite. »

      Il faut se mettre d’accord sur ce qu’on appelle cartographier dans ce contexte. Comme je l’explique dans mon texte, il s’agit de cartes conformes, qui respectent les angles. Et le théorème est en effet que tout surface qui peut se déformer en une sphère peut être cartographiée conformément sur une sphère. Un elliposoïde est un exemple : on peut le représenter sur une sphère. Ce n’est pas trop difficile si l’ellipsoïde est de révolution, mais c’est plus compliqué quand il ne l’est pas.

      Quand vous écrivez :

      « Toute “terre de forme patatoïdale” peut être cartographiée globalement par une ellipsoïde parfaite.
      Pour notre planète :
      a= 6378 km
      b= 6356.5 km »

      vous semblez faire une affirmation physique sur la forme de notre Terre et pas une affirmation mathématique sur la forme d’une surface quelconque. J’ajoute que notre Terre n’est pas exactement un ellispoide mais en diffère parfois d’une centaine de mètres si je ne me trompe pas. Mais il est important de faire la distinction entre la géométrie qui étudie toutes les surfaces et la géophysique, qui étudie une surface particulière, notre Terre.

      Et quand vous écrivez

      « Il faut un grand cercle incliné sur l’équateur pour obtenir cette définition du mètre.
      Celui ci passe par les Grandes Pyramides ,Machu Pichu et l’Ile de Paques et correspond à l’équateur magnétique. »

      hélas, je ne vous suis plus !

      Merci encore,

      Etienne Ghys

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  • Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman

    le 18 juin 2018 à 21:22, par Jacquiel

    Bonjour,

    Pour confirmer que le mètre vaut 1/40 000 000 d’un grand cercle, il faut que ce cercle est un rayon de :
    40 000 000/ (2*pi)= 6366.197 km.
    Ce cercle est plus petit que l’équateur et plus grand que le cercle qui passe par les pôles.
    C’est l’équateur magnétique incliné de 3.48 ° sur l’équateur.
    Pour le calcul du périmètre de l’ellipse par une intégrale elliptique du premier ordre,il faut voir la discussion sur Geogebra :
    https://help.geogebra.org/topic/erreur-de-calcul-sur-les-int%C3%A9grales-elliptiques_1
    J’ avais oublié une racine carré puis je l’ j’ai corrigé mais la précision du calcul dépend de la précision avec laquelle on rentre pi dans la formule.

    Je vous conseille :

    pi=ln(-1) avec 100 décimales...
    Mon frère,qui est historien, en utilisant les écrits de Fermat a réussi à quadraturer l’ellipse avec une formule de récurrence comme celle d’Archimède quoique plus complexe.
    Cependant, il faut diviser le quart d’ellipse en un nombre n grand d’intervalles ce qui demande du temps de calcul.

    Supposons que vous modélisiez le système Terre Soleil avec 2 ellipsoïdes.
    Ce qui est intéressant pour un pilote qui utiliserait un ordinateur de bord galactique :
    GFMS (Galactic Flight Management System) c’est de pouvoir connaître avec une grande précision les coordonnées (azimut,déclinaison,altitude) du lieu de transfert M depuis la Terre vers la planète cible située à plusieurs centaines d’ A.L. de la Terre.
    Le vaisseau reçoit une énorme impulsion pendant quelques microsecondes et un système anti-gravité supprime la gravitation en M.
    C’est un problème qui pourrait intéresser le département mathématiques de l ’ ENAC et les agences spatiales.

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