Le problème 3n+1 : élémentaire mais redoutable (I)

Échos de la recherche

Parmi tous les problèmes mathématiques actuellement non résolus, quel est celui dont l’énoncé est le plus élémentaire ? C’est peut-être bien le problème présenté ici : accessible à tout écolier de 8 ans, il défie les chercheurs depuis des décennies.

Piste verte

Le 13 novembre 2011, par Shalom Eliahou - 23 commentaires

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• Une manière d’aborder le problème ?

  le 26 juin 2015 à 18:01, par Olivier Madec

  Je voudrais apporter quelques précisions à la suite
  de mon commentaire.

  Nous avons vu que nous pouvions définir la notion de trajectoire
  contrainte d’un nombre m par rapport à un entier n, et en
  particulier, celle qui consiste à obliger à m à suivre, le plus
  possible, le mouvement libre de n.

  Dans ce cas, la trajectoire contrainte de n par rapport à lui-même
  doit correspondre à sa propre trajectoire libre.

  je donne 2 exemples où la trajectoire contrainte de m par rapport à n rejoint la trajectoire libre de n,
  les deux trajectoires ayant la même longueur.

  2 exemples (Sortie : Console du logiciel R) :

  Avec n=180 et m=216.6779 (lignes 1 et 3).
  Les trajectoires se rejoignent au rang 14 avec 5 comme nombre conjoint.

  Avec n=720 et m=832.6968 (lignes 1 et 3).
  Les trajectoires se rejoignent au rang 15 avec 10 comme nombre conjoint.

  Exemple 1 :

  [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
  [1,] 180.0000 90 45 136 68 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
  [2,] 125.0000 125 125 421 421 421 421 1281 1281 1281 3857 3857 3857 3857 11577 11577 11577 11577 11577
  [3,] 216.6779 108 54 163 81 40 20 61 30 15 46 23 11 5 16 8 4 2 1
  [4,] 180.0000 5 2 61 2 -3644 -3622 -10845 2 -1349 -4031 2 -1034 -1012 -3030 -2235 2 -179 2

  Exemple 2 :

  [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21]
  [1,] 720.0000 360 180 90 45 136 68 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
  [2,] 125.0000 125 125 125 125 421 421 421 421 1281 1281 1281 3857 3857 3857 3857 11577 11577 11577 11577 11577
  [3,] 832.6968 416 208 104 52 157 78 39 19 58 29 14 43 21 10 5 16 8 4 2 1
  [4,] 720.0000 2 -74879 2 -18719 -56104 -56312 -42196 -28118 -84334 -52607 2 21 2 -3779 2 12 -2874 -2877 2 -359

  Pour un entier n donné, il pourrait être intéressant de trouver « son nombre conjoint » (on suppose que
  l’on peut lui associer un réel de manière privilégiée, de sorte que les deux trajectoires se rejoignent comme dans les deux exemples précédents) ...

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