13 novembre 2011

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  • Le problème 3n+1 : élémentaire mais redoutable (I)

    le 18 novembre 2018 à 09:47, par Pierre Cami

    Si la conjecture est vérifiée tout nombre entier a(i) conduit à 1 après une suite d’opérations qui suivent :
    si a(i) est de la forme (2*n+1)*2^j, a(i-1)=2*n+1 et si a(i) est impair de la forme 2*n+1, a(i-1)=6*n+4
    à la fin a(0) est toujours égal à 1 si la conjecture est vérifiée.
    Définissons l’ensemble des suites u(i) qui contiennent tout prédécesseur possible de u(i-1).
    On commence par U(0)=1et on ne considère que les nombres impairs.
    Les termes de la suite U(1) sont donnés par la formule (4^n-1)/3 pour n de 1 à N.
    Les termes de la suite U(2) sont donnés par : (((4^n-1)/3)*4^j-1)/3 si (4^n-1)/3 est 1 modulo 6 ou par((4^n-1)/3) *2^(2*j-1)-1)/3 si (4^n-1)/3 est 5 modulo 6 pour n de 1 à N et j de 1 à N.
    Les termes de la suite U(i) sont donnés par (U(i-1)*4^k-1)/3 si U(i-1) est 1 modulo 6 ou par (U(i-1)*2^(2*k-1)-1)/3 si U(i-1) est 5 modulo 6 pour toutes les valeurs de U(i-1) et k de 1 à N.
    Il est facile de vérifier que chaque nombre impair est présent une fois et une seule fois dans l’ensemble des suites U(i) ci-dessus définies, d’où la vérification de la conjecture de Collatz.

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