13 novembre 2011

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  • Le problème 3n 1 : élémentaire mais redoutable (I)

    le 18 novembre 2018 à 16:41, par Pierre Cami

    Définissons l’ensemble des suites u(i) qui contiennent tout prédécesseur possible de u(i-1).
    On commence par U(0)=1et on ne considère que les nombres impairs.
    Les termes de la suite U(1) sont donnés par la formule (4^n-1)/3 pour n de 1 à N.
    Les termes de la suite U(2) sont donnés par : (((4^n-1)/3)*4^j-1)/3 si (4^n-1)/3 est 1 modulo 6 ou par((4^n-1)/3) *2^(2*j-1)-1)/3 si (4^n-1)/3 est 5 modulo 6 pour n de 1 à N et j de 1 à N.
    Les termes de la suite U(i) sont donnés par (U(i-1)*4^k-1)/3 si U(i-1) est 1 modulo 6 ou par (U(i-1)*2^(2*k-1)-1)/3 si U(i-1) est 5 modulo 6 pour toutes les valeurs de U(i-1) et k de 1 à N.
    Il est facile de vérifier que chaque nombre impair est présent une fois et une seule fois dans l’ensemble des suites U(i) ci-dessus définies, d’où la vérification de la conjecture de Collatz.
    Voir tableaux ci-dessous .
    A(L) = 6*(L-1)+1 , L de 1 à N
    T(L,C) = (A(L)*4^C-1)/3 , L et C de 1 à N
    A(L) L
    1 1 1 5 21 85 341
    7 2 9 37 149 597 2389
    13 3 17 69 277 1109 4437
    19 4 25 101 405 1621 6485
    25 5 33 133 533 2133 8533
    31 6 41 165 661 2645 10581
    37 7 49 197 789 3157 12629
    43 8 57 229 917 3669 14677
    49 9 65 261 1045 4181 16725
    55 10 73 293 1173 4693 18773
    61 11 81 325 1301 5205 20821
    67 12 89 357 1429 5717 22869
    73 13 97 389 1557 6229 24917
    79 14 105 421 1685 6741 26965
    85 15 113 453 1813 7253 29013
    91 16 121 485 1941 7765 31061
    97 17 129 517 2069 8277 33109
    103 18 137 549 2197 8789 35157
    109 19 145 581 2325 9301 37205
    115 20 153 613 2453 9813 39253
    121 21 161 645 2581 10325 41301
    127 22 169 677 2709 10837 43349
    133 23 177 709 2837 11349 45397
    139 24 185 741 2965 11861 47445
    145 25 193 773 3093 12373 49493
    151 26 201 805 3221 12885 51541
    157 27 209 837 3349 13397 53589
    163 28 217 869 3477 13909 55637
    169 29 225 901 3605 14421 57685
    175 30 233 933 3733 14933 59733
    181 31 241 965 3861 15445 61781
    187 32 249 997 3989 15957 63829
    193 33 257 1029 4117 16469 65877
    199 34 265 1061 4245 16981 67925
    205 35 273 1093 4373 17493 69973
    211 36 281 1125 4501 18005 72021

    A(L) = 6*(L-1)+5 , L de 1 à N
    T(L,C) = (A(L)*2^(2*C-1)-1)/3 , L et C de 1 à N
    A(L)
    6*(L-1)+5 L
    5 1 3 13 53 213 853
    11 2 7 29 117 469 1877
    17 3 11 45 181 725 2901
    23 4 15 61 245 981 3925
    29 5 19 77 309 1237 4949
    35 6 23 93 373 1493 5973
    41 7 27 109 437 1749 6997
    47 8 31 125 501 2005 8021
    53 9 35 141 565 2261 9045
    59 10 39 157 629 2517 10069
    65 11 43 173 693 2773 11093
    71 12 47 189 757 3029 12117
    77 13 51 205 821 3285 13141
    83 14 55 221 885 3541 14165
    89 15 59 237 949 3797 15189
    95 16 63 253 1013 4053 16213
    101 17 67 269 1077 4309 17237
    107 18 71 285 1141 4565 18261
    113 19 75 301 1205 4821 19285
    119 20 79 317 1269 5077 20309
    125 21 83 333 1333 5333 21333
    131 22 87 349 1397 5589 22357
    137 23 91 365 1461 5845 23381
    143 24 95 381 1525 6101 24405
    149 25 99 397 1589 6357 25429
    155 26 103 413 1653 6613 26453
    161 27 107 429 1717 6869 27477
    167 28 111 445 1781 7125 28501
    173 29 115 461 1845 7381 29525
    179 30 119 477 1909 7637 30549
    185 31 123 493 1973 7893 31573
    191 32 127 509 2037 8149 32597
    197 33 131 525 2101 8405 33621
    203 34 135 541 2165 8661 34645
    209 35 139 557 2229 8917 35669
    215 36 143 573 2293 9173 36693

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