13 novembre 2011

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  • Le problème 3n 1 : élémentaire mais redoutable (I)

    le 20 janvier 2020 à 11:22, par CAMI

    Tout nombre entier impair X positif a une représentation unique utilisant deux variables L et C entières positives > 0.
    X = ((3L-2)2^C-1)/3 pour L impair et C pair
    X = ((3L-1)2^C-1)/3 pour L pair et C impair

    Démonstration :

    X = 3X/3 = ((3X+1)-1)/3
    3X+1 est pair, 1 modulo 3.
    3X+1 ne peut être que le produit d’un nombre impair 1 modulo 3 par une puissance de 2 qui doit être 1 modulo 3, ou le produit d’un nombre impair -1 modulo 3 par une puissance de 2 qui doit être -1 modulo 3.
    Les puissances de 2 paires sont 1 modulo 3
    Les puissances de 2 impaires sont -1 modulo 3
    Donc deux représentations possibles pour X en fonction de L et C
    Pour L impair et C pair X = ((3L-2)2^C-1)/3
    Pour L pair et C impair X = ((3L-1)2^C-1)/3
    On peut donc construire un tableau qui contient tout nombre impair X une fois et une fois seulement en utilisant les deux formules ci-dessus, le tableau a pour lignes L et pour colonnes C, L > 0 et C > 0.

    Trajectoire de Collatz :

    A tout nombre entier positif impair X(1) et on fait succéder le nombre pair 3X(1)+1, et le nombre pair est divisé par 2 jusqu’à obtenir le nombre impair X(2) suivant, et ainsi de suite.
    La conjecture de Collatz dit que pour tout X(1) entier positif de départ on arrive après n nombres impairs à X(n)=1 puis répétition du cycle trivial 4, 2, 1.
    Tout nombre impair a une représentation unique pour 2 variables entières positives L et C,
    - soit ((3L-2)2^C-1)/3 pour L impair et C pair
    - soit ((3L-1)2^C-1)/3 pour L pair et C impair
    Tout nombre X = ((3L-2)2^C-1)/3 a pour successeur impair 3*L-2, L impair>0.
    Tout nombre X = ((3*L-1)*2^(2*C-1)-1) a pour successeur impair 3*L-1, L pair >0.
    Tous les nombres impairs de la trajectoire sont donc obligatoirement différents les uns des autres et toujours 3*L-2 pour L impair et 3*L-1 pour L pair sauf si L=1 car alors on tombe sur le cycle trivial 4, 2, 1 et perpétuelle répétition du cycle dit trivial.
    Ceci apporte la preuve qu’il ne peut exister d’autre cycle que le cycle trivial.

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