13 novembre 2011

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  • Trajectoires divergentes

    le 13 novembre 2011 à 21:53, par Pierre Colmez

    Il est plus raisonnable de ne regarder que les nombres impairs de la suite, et on peut se demander quelle est la taille de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Or pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$ on commence par multiplier par $3$ et ensuite on divise par une puissance de $2$, à savoir $2$ une fois sur deux, $4$ une fois sur quatre, $8$ une fois sur huit, etc. En moyenne, on a $u_{n+1}\sim 3(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots)u_n=u_n$. Donc en moyenne la suite de Collatz ne bouge pas alors que celle basée sur $5x+1$ fournit une dilatation moyenne de rapport $5/3$.

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