13 novembre 2011

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  • Trajectoires divergentes

    le 14 novembre 2011 à 13:06, par électron

    Oui, à un « détail » près : il faut ici raisonner en moyenne géométrique. Pour le problème 3n+1, on arrive à la formule heuristique $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{4})^{\frac{1}{4}} (\frac{3}{8})^{\frac{1}{8}} \cdots$ ce qui donne, tous calculs faits, un facteur moyen égal à $\frac{3}{4}$ entre deux termes impairs d’une même suite. Il y a donc contraction en moyenne, ou du moins on s’attend à observer un comportement « globalement » décroissant. Nous obtenons de cette manière une estimation effective de la vitesse de contraction, qui semble fonctionner pour « la plupart » des suites. Cet argument a été formulé dans les articles de Crandall (1978), Lagarias (1985), et plus récemment Jean-Paul Delahaye (1998, Pour la Science no 247). Il est possible de simplifier le raisonnement en considérant « l’accélération » $n -> (3n+1)/2$ pour tout $n$ impair ...

    Dans le cas de la variante 5n+1, le même argument conduit à un facteur moyen égal à $\frac{5}{4}$ entre les termes impairs.

    Olivier

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