Lors d’un « débat » sur Bourbaki entre Serre et Arnold, ce dernier a commencé son intervention par une liste de méfaits imputables aux criminels bourbakistes. Je ne me souviens pas de tous, mais parmi ces méfaits il y avait l’introduction de $0$ parmi les entiers naturels, le fait que « A implique B » ne signifie pas que l’on peut déduire B de A, et le fait qu’à cause de Bourbaki les enfants ne savent plus compter (témoin l’anecdote précédente ; l’ex petit garçon m’a dit qu’il trouvait que l’on abusait un peu de sa provocation enfantine...).

Je suis d’accord que la réponse de l’enfant est une provocation (pédante sans doute). Elle n’est drôle (ou impertinente, c’est selon) que si l’on part de l’idée qu’il connait aussi la réponse attendue. L’anecdote prouve en ce sens que ce gamin en savait plus que ce qui était attendu.

Ce que j’aimerai attester et connaitre plus en détail, c’est la réaction de l’adulte. Non pas vis-à-vis de l’enfant, mais ensuite. Voire lui demander ce qu’il s’est passé, à lui.

Pour revenir aux astuces diaboliques, elles sont le reflet de la polysémie. Si l’aire d’un rectangle privé d’un autre n’est plus au goût du jour (en partie parce que la géométrie n’est plus en vogue et en partie parce qu’étrangement le développement des maths fait aussi que peu de monde continue à penser à un produit comme étant évidemment une surface ... comme le prouve l’expression « au carré »), on peut y penser autrement.
J’en ai une vision certes plus sophistiquée, mais qui est évidemment une autre façon de dire la surface, à savoir les déterminants. Personnellement je ne peux pas voir un ad-bc sans imaginer un déterminant et je pense que la façon la plus agréable (pour moi) de voir la dérivée d’un produit ou le passage au quotient dans un anneau est d’écrire
\[\det\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{cc}a-b&b\\c-d&d\end{array}\right)...\]

François Sauvageot.

Si vous demandez à des élèves de troisième de choisir des points $(x,y)$ de $[-2,2]\times[-2,2]$ au hasard et de les marquer en bleu si $x^2+y^2<1$ et en rouge si $x^2+y^2>1$, puis si vous leur demandez après un nombre suffisant de points marqués ce qu’ils pensent de l’ensemble des $(x,y)$ vérifiant $x^2+y^2=1$, il est probable que vous obtiendrez une réponse raisonnable. Si vous faites la même expérience avec des élèves d’une bonne math. sup., il est à parier que le mauvais esprit naturel va prendre le dessus et vous vous obtiendrez des réponses du genre « un ensemble non vide », « une ellipse » ou « une cycloide avec une infinité de points de rebroussement »... Tout ça pour dire que poser des questions impertinentes insultant l’intelligence de l’interlocuteur peut amener des réponses du même tonneau.

Quel intérêt d’apprendre l’addition à des enfants de primaire ? Pourquoi ne pas s’arrêter à des additions à 2 chiffres ? Pourquoi ne pas laisser les ordinateurs et autres calculatrices faire leur travail ?

Parce que l’intérêt de l’addition est fort :
* c’est une notion de base pour n’importe quelles mathématiques
* c’est un algorithme simple et gratifiant (on peut l’utiliser immédiatement avec des exemples de la vie courante), facilement explicable
* ...

L’intérêt n’est PAS de demander à l’enfant d’être aussi bête et perfectionné qu’un ordinateur, à qui, si l’on demandait 50 fois par jour « 2+5 = ? », répondrait, invariablement, 7, ou quelque chose de semblable s’il n’est pas malade.

Pourtant, de nombreux enfants y croient, à mon humble avis : c’est d’ailleurs ce que S. Baruk appelle « l’automathisme ». On leur demande de juste répondre bien aux questions qu’on leur pose, et de ne pas s’amuser avec. C’est dramatique.

Je suis donc particulièrement étonné de lire ici qu’un enfant qui ne veut pas répondre 7 à une question aussi évidente fait preuve de pédance, défiance, ou de je ne sais quoi. Un enfant aime jouer, y compris avec de nouvelles connaissances, et je doute qu’un enfant désire ardemment défier un adulte sur une petite question de cette ordre.

Les math devrait être un jeu avant d’être un combat d’égo. (...)

C’est étrange en effet ce mot « pédant » pour qualifier une réaction d’enfant (le propre de l’enfance étant a priori la spontanéité) parce qu’il suggère plus ou mois une volonté de contrarier et donc une attitude préméditée comme si l’enfant en question avait fatalement pensé « 7 » comme tout à chacun mais que par provocation, il ait rapidement cherché comment formuler une réponse correcte sans pour autant être celle que l’on attendait (au sens « du commun des mortels »). J’imagine que ce type de perversion intellectuelle se rencontre bien sûr mais il doit s’agir soit d’enfants conditionnés par un milieu (de ce fait particulier), soit d’enfants réellement précoces qui provoquent l’adulte (seul interlocuteur du coup envisageable) par ennui et donc pour susciter un intérêt. Imaginer que la forme d’un enseignement rende plus naturel la réponse de la commutativité que celle de l’évaluation, me paraît peu crédible. Je n’ai aucune expérience des petits mais j’imagine qu’on les invite à visualiser 2 pommes et 5 pommes pour en déduire qu’il y en a finalement 7.
Mais on s’éloigne du débat sans doute ...
J’achève à l’instant la lecture du très succinct Sciences et Avenir de ce mois (numéro consacré aux Mathématiques et plus précisément à l’exposition à venir : « Mathématiques, un dépaysement soudain »)
et j’ai lu avec plaisir que J.P. Bourguignon définit les maths comme « la science des structures ».
C’est donc avec un éternel pincement au coeur que je me dis que les terminales (en particulier, les futurs élèves de classes préparatoires) vont quitter le lycée à 18 ans (au moins) sans avoir jamais pressenti seulement cette idée.