20 décembre 2011

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  • Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III)

    le 21 décembre 2011 à 07:50, par Cidrolin

    Bonjour,
    Ce problème n’est pas que difficile et déroutant, il est surtout chronophage. En tant qu’ancienne victime, je peux
    témoigner : des pages et des pages de calcul sur la suite E(n ln3/ln2) ou sur les réduites de ln3/ln2. Sans aboutir.
    Félicitations pour ces trois articles qui conduisent à un résultat démontré. Ils sont vraiment très clairs et très pédagogiques.
    Dans la phrase :« divisant le tout par log(2), on obtient le résultat », il manque « car log 2 est strictement positif ».
    Pensez aux apprenants devant la résolution de 0.99^n < 0.000001

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  • Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III)

    le 24 décembre 2011 à 15:41, par Julien

    Très bon article, qui aborde à la fois des points élémentaires et d’autres plus évolués.

    Dans la mesure où les approximations rationnelles de ln(3)/ln(2) jouent un rôle dans la recherche des cycles, je suis toutefois un peu surpris de ne pas leur voir accorder plus d’importance.

    Tant que j’y pense, une question peut-être naïve et déjà abordée (et résolue ?) ; si pour tout entier pair on peut choisir librement entre les opérations x->x/2 et x->3x+1, cela rend-il le problème de trouver un/des cycle(s) ou un chemin infini moins difficile ?

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  • Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III)

    le 6 janvier 2015 à 10:09, par Pierre Lecomte

    Ah quel agréable article, limpide et très amusant !
    Félicitation et merci !

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  • Le problème 3n 1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? réponse (?) : il semblerait que non.

    le 28 février à 17:14, par Deschamps Xavier

    Bonjour,

    Si je ne me trompe pas :

    Pour répondre à cette question, il faut déterminer ce qui conditionne les cycles :

    Combien de répétitions de la transformation 3n + 1 (réponse le nombre de 2 dans la décomposition de n + 1 en facteur premier et à chaque fois, elle transforme « ces 2 en 3 »)

    Combien de répétition de la division par 2 (réponse : le nombre de 2 dans la décomposition de n en facteur premier)

    donc ces transformations font la chasse aux 2. Cela permet d’accélérer les transformations.

    Pour continuer, il faut faire apparaître des cycles dans la démonstration car c’est le problème. Comme on ne peut gérer les valeurs qui fluctuent, gérons la forme du nombre. Après un certain temps, ils sont de la forme 6k, 6k + 1 ou 6k + 2, ou 6k + 4 ou 6k + 5 ( = « 6k - 1 ») et passent de l’une à l’autre suivant la parité de k. Et comme au cours du calcul, k sert de compte à rebours les cycles finissent toujours par arriver au cycle trivial.

    Il faudrait quelqu’un pour vérifier les calculs. Je joindrais bien un pdf de mes notes manuscrites si je savais comment le faire sur ce site.

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  • Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III) ; deux « théorèmes »

    le 20 mars à 15:39, par Philippe Gay

    Bravo pour ces superbes articles !

    Voici deux mini-théorèmes.

    1- Soit le problème de Syracuse en (3n + 1)/2. Tous les éléments de ses cycles connus (càd passant par 1, mais aussi par -1 , -5 et -17) et inconnus (s’ils existent !), excepté celui en zéro, sont différents de 0 modulo 3.

    J’obtiens cela grâce à la théorie des graphes. On peut vérifier que 1, 2, -1, -5, -7 , 10, -17... ne sont jamais divisibles par 3.

    2 - Soit le problème de Syracuse en (3n + 1)/2 et n’importe lequel de ses cycles connus et inconnus (s’ils existent). Il existe une relation entre la somme des termes pairs P, des nombres impairs I et le nombre de ses termes impairs W de ce cycle qui est I + W = P.

    J’obtiens cela grâce à une transformation matricielle.
    Pour le cycle (1, 2) on 1+1= 2.
    Pour(0), on a 0 +0 = 0.
    Pour (-1), on 1 -1 = 0.
    Pour (-5, -7, -10), on a 2 -12 = -10.
    Pour (-17...), c’est vrai aussi.

    Quand quelqu’un (pas moi !) aura trouvé un autre cycle, on vérifiera tout cela. (Pas sûr que cela soit pour bientôt !)

    Plus sérieusement, c’est bien, mais c’est peut-être déjà cité. On voit juste que beaucoup d’outils ont été utilisés contre cette conjecture.

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