Remarque très juste ; merci Jonas !

Bonjour Xavier,

En fait, j’avais précisé dans la section Cadre de cet article qu’on faisait l’hypothèse que « tous les électeurs votent, et [qu’]il n’y a pas de bulletin nul ». C’est une hypothèse idéale destinée à simplifier la présentation, et c’est dans ce cadre que le “théorème du référendum” était énoncé.

Dans les vraies élections, il y a en fait toujours des abstentionnistes et des bulletins blancs ou nuls, mais on compte généralement les votes par rapport aux suffrages exprimés, ce qui ramène à la situation que j’ai décrite.

Ne pas prendre en compte les bulletins blancs est souvent critiqué dans le monde politique. Du strict point de vue de la prise de décision, c’est pourtant assez logique : puisque de toutes façons il faut choisir une option parmi celles proposées, cela n’aide pas à se décider que de savoir que certains électeurs n’approuvent aucune des options proposées ! Après, la question de savoir si une élection doit uniquement servir à prendre une décision ou si elle est aussi destinée à connaître l’avis des gens est une question légitime, mais je n’ai pas voulu l’aborder dans mon article, où je me suis limité à la fonction décisionnelle.

Maintenant, on peut aussi imaginer des solutions dans lesquelles le bulletin blanc a un véritable effet. Par exemple, pour une élection présidentielle, on pourrait imaginer la règle suivante : « s’il y a plus de 50 % de bulletins blancs, l’élection est annulée et le Congrès désigne un président parmi les non-candidats ». Dans un tel cas, le bulletin “blanc” n’est plus vraiment blanc puisqu’il revient à soutenir une certaine décision.

Ainsi, pour en revenir à votre question, s’il est organisé un référendum pour la question « faut-il augmenter ou diminuer les impôts ? » et que les règles du scrutin prévoient qu’en cas de majorité de bulletins blancs les impôts resteront constants, le bulletin “blanc” est dans ce cas une véritable troisième option, et le théorème du référendum ne s’applique donc effectivement pas puisque le choix se fait entre plus de deux options !

Merci pour ce super lien ! J’encourage tous les lecteurs à participer à l’expérience pour faire avancer la recherche sur l’impact effectif des systèmes de vote : c’est peut-être grâce à de telles expérimentations que nous arriverons un jour à une démocratie de meilleure qualité qui reflètera plus fidèlement la volonté du peuple...!

Bonjour Christophe,

Votre remarque sur le traitement injustifié des frontières comme des sous-variétés est tout-à-fait juste. Il s’agit en fait d’un choix de rédaction délibéré : j’avais opté pour cette preuve-ci car j’en trouvais l’idée générale particulièrement élégante, mais parler de la question de la régularité des frontières aurait requis un long développement peu éclairant alors que seuls les spécialistes verraient le problème ;-)

Cela étant dit, il y a plusieurs options pour compléter la preuve, la plus simple étant... d’imposer la régularité des frontières dans la définition de ce qu’est une méthode électorale :-P On peut aussi commencer par montrer que les différentes zones de détermination sont nécessairement convexes, ou encore revenir à la nature discrète du véritable problème et donner la démonstration dans ce cadre-là (car à vrai dire, la rédaction que j’ai suivie ne définit pas rigoureusement ce qu’on entend par « possibilité de manipulation » dans le cadre continu). Enfin, la solution la plus confortable est sans doute de prendre comme démonstration de remplacement la preuve du théorème de Gibbard (qui emprunte un chemin différent), puisque le théorème de Gibbard–Satterthwaite n’en est qu’un cas particulier :-)

Concernant votre argument fondé sur le paradoxe de Condorcet, il est effectivement très élégant, mais il requiert un lemme intermédiaire, à savoir qu’une option classée en tête par la majorité des électeurs doit nécessairement être gagnante. Or ce lemme n’est pas trivial... (d’ailleurs, j’avais écrit dans un premier temps une démonstration fondée sur cet argument, avant de l’abandonner car elle était trop compliquée !). Une autre objection moins grave est que la manipulation que vous suggérez est une manipulation collective, où de nombreux électeurs modifient leur suffrage en même temps, alors que les hypothèses du théorème tel que je l’ai écrit définissent le concept de manipulation à partir de la modification du suffrage d’un seul électeur — mais en fait, il est aisé de montrer que les deux définitions de la manipulabilité sont équivalentes.

Je suis en revanche moins convaincu par votre objection sur les scrutins à plusieurs tours : la note [2] de l’article me semble déjà répondre en grande partie à cette question...

Bonjour,

Votre pensée se rapproche donc de celle d’Aristote (cf. la note [16] de l’article)... Pour ma part, je préfère ne pas prendre position sur la « bonne » définition de la démocratie. Disons que mon objectif se limitait à l’étude de la problématique des élections, et que celle-ci est généralement admise comme la marque de la démocratie. Après, « démocratie » n’est peut-être pas le mot juste, mais vu que le but de l’article est d’abord de parler de mathématiques, je botte en touche en arguant que ce n’est qu’un choix lexical arbitraire limité à ce texte ! :-)

Bonjour Hadrien,

Tout d’abord, merci pour vos questions que je trouve très judicieuses.

Il me semble effectivement qu’un manque d’information (ignorance ou mauvaise compréhension) sur le fonctionnement interne du scrutin aurait pour effet d’inciter les électeurs à voter plus sincèrement, encore que je n’aie pas de référence précise sur le sujet. Cela dit, je crois qu’il y aurait un contrepoint très grave, qui est que les citoyens perdraient confiance en les institutions démocratiques s’ils n’avaient pas la conviction que les décisions prises par le système sont bien le reflet de leur vote !

Le scrutin stochocratique n’entre pas dans ce cadre, car il est au contraire totalement transparent (du moins si les citoyens ont confiance en l’équité du tirage au sort). Cette méthode fait bien apparaître une forme d’ignorance, mais ce n’est pas cette ignorance qui rend le système robuste à la manipulation : au contraire, l’électeur sait que, quel que soit le bulletin tiré, il a toujours intérêt à voter sincèrement ! Une autre façon de le comprendre est de penser au scrutin stochocratique comme une « dictature aléatoire » : ce qui le rend robuste à la manipulation, ce n’est pas son aspect aléatoire (qui ne sert qu’à assurer l’équité entre les citoyens), mais uniquement son caractère dictatorial !

Quant à la possibilité de déformer le scrutin stochocratique par une forme de pondération, je crois que même une faible pondération aurait un effet majeur : en effet, dès lors que les citoyens savent que leur vote a plus de chances d’être pris en compte s’ils votent pour une option plus prisée par les autres électeurs, il choisiront plus volontiers les options les plus populaires, ce qui accroîtra les différences d’intentions de vote entre les options, rendant encore plus intéressant de voter stratégique, etc. Par ailleurs, les options généralement considérées comme « intolérables » (extrêmistes) peuvent être partagées par une minorité relativement large (37 % pour le parti nazi en 1932 — désolé pour le point Goodwin...) : il n’est donc pas clair qu’une pondération changerait quoi que ce soit de ce côté-là !

Enfin, il y a une grande question derrière tout cela sur laquelle un ami philosophe (merci Géhel) a attiré mon attention récemment : la manipulation n’est pas forcément dommageable en tant que telle : ce sont plutôt ses conséquence indirectes, comme la candidature unique d’un seul candidat par parti, la difficulté pour un « petit » candidat d’attirer les suffrages sur son nom, la difficulté d’interpréter les résultats, etc., qui font qu’il est préférable qu’un système ne soit pas manipulable ! Mais à partir du moment où on suppose que les citoyens sont suffisamment intelligents pour exploiter de manière également optimale les possibilités de manipulation qui leur sont offertes, il vaut certainement mieux un système qui reflète la volonté du peuple, même si celle-ci ne s’exprime alors qu’indirectement à travers les bulletins de vote (ceux-ci tenant alors compte non seulement de la préférence personnelle des électeurs mais aussi des calculs stratégiques qu’ils font), qu’un système aléatoire ou opaque.

Bonjour Vitchy,

Votre remarque est tout-à-fait juste, et fait d’ailleurs l’objet d’une section dans le troisième article de cette série sur les mathématiques de la démocratie. J’avais ici forcé le trait pour des raisons pédagogiques...

Bonjour Sergejack,

J’ai répondu à votre question via les commentaires de votre article sur le forum du site “les-mathematiques.net”.

Si vous avez des questions supplémentaires, vous pouvez me contacter par le biais de ma fiche sur Images des Mathématiques. (je compte sur vous pour vous auto-modérer ! ;-)).

Bien cordialement,