Merci pour le merci !

Etienne

Les questions que vous posez sont excellentes ! Entre vérifier qu’un théorème est vrai ligne à ligne, argument par argument — ce qui pourrait prendre des années — et se convaincre qu’il est probablement vrai, en lisant en diagonale, et en vérifiant les arguments qui vont semblent centraux — au risque de laisser passer «la petite erreur qui met tout par terre» — eh bien, entre ces deux extrêmes il faut trouver le juste milieu. Pas facile ! Vous demandez «comment faire confiance» ? Je dirais, mais beaucoup de mes collègues ne seraient probablement d’accord, que s’il y a une erreur, ça finira bien par se savoir :-) N’oublions pas que toute la production mathématique est sous le «regard» de toute une communauté. Vous me direz qu’il y a peut-être des résultats faux qui resteront faux parce que personne ou presque ne les a lus... C’est probable, mais cela signifie peut-être qu’ils ne sont pas intéressants ! Alors oui, il y a sûrement des résultats faux, inintéressants et... oubliés de tous :-)

Vous demandez aussi si un livre ou un article peut être publié sans avoir être lu. Officiellement la réponse est non : nous avons un système de validation que nous appelons du nom anglais «referee» (arbitrage). Mais il y aurait beaucoup à dire sur ce système qui a ses qualités... et ses défauts. Ce serait un excellent thème pour un article de Images des Maths !

Etienne

Regardez bien la définition d’un cycle limite : il s’agit d’une trajectoire périodique isolée, c’est-à-dire telle que les trajectoires voisines ne sont pas toutes périodiques. Dans votre exemple, toutes les trajectoires sont périodiques et aucune d’elles n’est donc isolée. Il n’y a pas de cycles limites. Si vous préférez, il y a des cycles mais ils ne sont pas limites !

Etienne

Cher Rémi,

Voilà un débat passionnant ! Il ne faut pas croire que je défends les erreurs, bien sûr ! Je voulais juste dire aux lecteurs d’IdM que parfois les maths ne sont pas aussi «vraies ou fausses» que ce qu’on croit. Si on pouvait éliminer toutes les erreurs, ce serait parfait, mais comment faire ?

Ta conclusion : «travailler mieux et plus lentement» me va parfaitement ! Cela dit, l’histoire que je raconte ne s’est pas non plus faite dans la précipitation.

Amitiés,

Etienne

Oups ! Merci de me le signaler. L’avantage d’internet, c’est qu’on peut corriger les coquilles... Voilà qui et fait.

En effet, Jean Martinet était un homme remarquable. On peut lire ici un texte de Jean-Pierre Ramis sur son ami Jean Martinet.

Dear Etienne,

many thanks for the vivid account of the story which was indeed so dramatic in its unfolding!

Having observed the events of the decade 1980-1990 from very close, I venture to add a bit to your story. It seems to be not accidental that Ilyashenko found the gap in the Dulac’s proof.

The memoir by Dulac, published in the journal of limited availability in the Soviet libraries, was translated into Russian in the form of a separate book in 1980. This increased very much its readership, and Yulij was one of such readers.

At this moment he was actively involved in supervising the research of Sergei Voronin, whose goal was to understand the nature of the divergence of normalizing transformations. In other words, Ilyashenko at that time was very well aware of the abyss separating analytic and formal theory.

Thus it was only natural for him to skim over the technical part of integrating the normal forms (the more so since the recent work by Dumortier on resolution of singularities of smooth vector fields was fresh out of print then, absorbing much of the technical difficulties) and turn to the key point where the analytic and the formal theories necessarily must diverge. Not surprisingly, they diverged as expected, exposing the crucial gap.

Which brings me to the other point which you discussed in your essay: when a statement becomes a theorem. Having observed a number of cases where deep errors where discovered, I can distinguish a certain common pattern. The errors are only rarely discovered by line-by-line thorough checking, the more so since all too often the expositions contain minor error, misprints, abuse of notation and other blemishes which do not invalidate the main points of the authors. The real gaps are discovered when someone else, struggling with a similar or related problem, realizes that somehow the source of difficulties in the two problems is the same. Knowing that, one can usually rather quickly find an instance where the crucial step occurs. If the demonstration was indeed correct, some of the ideas can be recycled in the new context, resulting in the independent verification of the claim. Conversely, if the argument was incorrect, then the suspicious place is already localized. By the way, it may indeed very well happen that Dumortier, who worked in the smooth category where before him Bendixson and Seidenberg treated the analytic case, was also specially aware about the key difference between the formal (and smooth for that sake) and analytic contexts. This might explain his interest in verifying the Dulac’s arguments.

Unfortunately, I happened to come across some people (mainly from humanities), who stress the fact that the mathematical truth is a matter of social consent. Based on that, they attempt to equate the validity mathematical statements with those in sciences and even in humanities.