20 mars 2012

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  • Un carré dans une courbe

    le 20 mars 2012 à 09:38, par Pierre Lecomte

    Merci pour ce bel article, clair et enrichissant !

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  • Un carré dans une courbe

    le 20 mars 2012 à 13:58, par amic

    Joli article. Mais je suis un peu perplexe au vu de cette phrase :

    Choisissons trois des quatre pieds. Soulevons la table et faisons-la tourner autour de son centre d’un certain angle x (entre 0 et 360°). Abaissons la table de façon à ce que les trois pieds choisis touchent le sol

    Est-ce que c’est bien défini ?
    Si on se donne une procédure spéciale, en numérotant les pieds 1 2 3 4, et en faisant une rotation d’axe la diagonale 2-4, tout en abaissant pour que 1 et 3 se retrouvent au sol, puis une rotation le long de cette nouvelle diagonale 1-3 jusqu’à ce que 2 touche le sol, ça fonctionne. Mais alors la hauteur au sol d’un pied est plus vraiment la bonne mesure pour f(x), puisque le pied n’est pas à la verticale de là où il était au départ. Et du coup la formule f(x+180)=f(x) n’est plus valable. Il faudrait prendre pour f(x) l’angle de la rotation à faire autour de la diagonale 1-3 pour faire passer de la position où c’est 3 qui touche à celle où c’est 4 qui touche. Et là f(x+180)=f(x) est bien valable.

    Mais alors je ne suis pas du tout convaincu que f(x+90)=f(x) implique que f(x)=0, avec ces compositions de rotations selon des axes penchés.

    Pour moi, le théorème (et la démonstration donnée dans l’article) fonctionne en supposant que le plateau de la table est toujours horizontal, mais qu’on a le droit de couper les 4 pieds de telle sorte que les 4 points correspondants soient coplanaires. Du coup au lieu d’abaisser la table, on abaisse les 3 pieds, ce qui impose la longueur du 4eme. Et là ça fonctionne bien.

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    • Un carré dans une courbe

      le 20 mars 2012 à 17:30, par Étienne Ghys

      Mais vous avez raison ! Caramba, je me suis encore trompé :-)

      L’avantage d’internet est qu’on peut corriger et que cette erreur pourra être corrigée. Je vais réfléchir à la meilleure manière de corriger et je ferai le changement.

      Un grand merci !

      Etienne Ghys

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      • Un carré dans une courbe

        le 20 mars 2012 à 21:42, par Étienne Ghys

        Je croyais que la preuve était simple et elle ne l’est pas ! Une rustine ne suffit pas : je n’ai pas pu inclure une correction dans le texte. Alors je me suis résolu à reconnaître mon erreur (mais je ne suis visiblement pas le seul à me tromper sur ce sujet :-) et à ajouter un bloc dépliant pour donner des références précises.

        Encore merci !

        Etienne Ghys

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        • Un carré dans une courbe

          le 21 mars 2012 à 08:04, par Bruno Duchesne

          Bonjour,

          Je trouve très intéressante cette « erreur » et encore plus l’ajout du bloc dépliant. On est trop habitué à voir les théorèmes comme des vérités absolues. Ici, on se rend compte qu’un théorème est d’abord une idée puis une démonstration qui peut procéder par approximations successives de la vérité et qui au final ne comporte plus d’erreurs.

          Pour ceux intéressés par les erreurs dans les mathématiques, je crois qu’on peut recommander le séminaire de l’auteur (pour étudiants et chercheurs scientifiques) suivant : Le rôle des erreurs dans le développement des mathématiques

          Un théorème est-t-il un théorème tant que quelqu’un n’a pas trouvé d’erreurs dans la preuve ?

          En tous cas merci pour l’article et pour l’honnêteté intellectuelle !

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          • Sur le rôle des erreurs en math

            le 28 mars 2012 à 12:50, par Patrick Iglesias-Zemmour

            Quand j’étais plus jeune la lecture de « Preuves et réfutations » de Imre Lakatos m’a aidé aussi à comprendre le caractère vivant des mathématiques. Je ne l’ai plus relu depuis et je ne sais pas s’il est encore d’actualité ou adapté à cette discussion, mais bon...

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  • Un carré dans une courbe

    le 20 mars 2012 à 17:11, par theo

    Bonjour,

    Je ne comprends pas l’intérêt de cette conjecture. La réponse est Oui et me paraît évidente. Je veux bien vous le démontrer...

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    • Un carré dans une courbe

      le 20 mars 2012 à 17:36, par Étienne Ghys

      Intéressant ou pas intéressant, c’est une affaire de goût ! J’ai essayé d’expliquer pourquoi je trouve personnellement cette conjecture intéressante mais je comprends parfaitement que d’autres ne la trouvent pas intéressante, bien sûr ! Heureusement d’ailleurs que nous ne nous intéressons pas tous aux mêmes choses ;-)

      Cela dit,

      « La réponse est Oui et me paraît évidente. »

      Je suis curieux de savoir pourquoi c’est évident pour vous ?

      « Je veux bien vous le démontrer... »

      et encore plus curieux de voir la démonstration ! Je serais sincèrement heureux que cette conjecture soit résolue dans « Images des Maths » !

      Etienne Ghys

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  • Un carré dans une courbe

    le 20 mars 2012 à 18:16, par Théo Vohan

    En tout cas pour la conjecture plus générale de la fin, je pense qu’on peut dire sans trop s’avancer que si le type de zone dont vous parlez est d’intérieur non vide, alors on peut trouver quatre point qui forment un carré...

    Bon pour le cas ou l’intérieur est vide, il ne faut pas trop m’en demander non plus ^^ .

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    • Un carré dans une courbe

      le 20 mars 2012 à 18:26, par Étienne Ghys

      OK, je vois, je vois :-)

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      • Un carré dans une courbe

        le 25 mars 2012 à 16:36, par Théo Vohan

        Je pense que si on veut pouvoir quand même réfléchir de manière intéressante sur ces surfaces fbd (fermées bornées déconnectées) lorsque leurs intérieur est non vide, on pourrait exclure le cas trivial que j’ai énoncé (on prend un carré dans une boule ouverte de la surface) en exigeant par exemple que l’enveloppe convexe du carré ne soit pas incluse dans la surface c-a-d que les coins du carré « entourent un trou » de la surface en quelques sorte.

        Ceci doit être vérifié lorsque la surface est une courbe à mon avis (un doute demeure parce que je ne sait pas si on peut tracer une courbe genre Peano dont le support serait une surface convexe et qui « reviendrait » à son point de départ sans passer deux fois par le même point), à voir.

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  • Généralisation de la conjecture

    le 24 mars 2012 à 23:16, par Rémi Peyre

    Sur la généralisation de la conjecture, il ne me semble absolument pas évident de voir qu’il existe des ensembles fermés bornés déconnectants qui ne contiennent aucun lacet continûment plongé... J’ai même presque l’impression qu’on devrait pouvoir démontrer le contraire ! C’est vraisemblablement moi qui dois me tromper, mais à quoi donc ressemblent ces mystérieux compacts déconnectants sans lacet ?

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    • Généralisation de la conjecture

      le 24 mars 2012 à 23:38, par Rémi Peyre

      Ah non c’est bon en fait (c’est encore un coup des machins connexes mais non connexes par arcs...). Bon, du coup je prends une position : je parie que le résultat de la conjecture de base est le même que celui de la conjecture généralisée ! (Oui, je ne me mouille pas beaucoup...). Qui veut parier ? ;-)

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  • Un carré dans une courbe : une table

    le 23 mai 2012 à 08:55, par Jean Lefort

    A ma connaissance on ne sait pas démontrer le théorème de la table carré dans le cas d’une table rectangulaire. Et si les quatre pieds sont les sommets d’un quadrilatère quelconque la réponse est négative si le sol est une sphère et les quatre pieds non cocycliques.

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