10 juin 2012

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  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:00, par Christine Huyghe

    Magnifique travail, pour un magnifique article, et en plus
    pas trop difficile à expliquer à un large public... Parfait !

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    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 00:46, par Vincent Borrelli

      Merci Christine pour tes compliments.

      « Pas trop difficile à expliquer à un large public... » : c’est tout à fait exact et pourtant, je t’assure, j’ai souffert chacune des phrases de mon texte !
      Amitiés.

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  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:21, par Patrick Iglesias-Zemmour

    Très beau papier, félicitations !

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    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 00:47, par Vincent Borrelli

      Merci pour votre compliment !
      Cordialement.

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  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:24, par TheBarber

    J’avais déjà pu voir les (superbes) images, mais je ne connaissais pas la petite histoire de Nash, le film ne m’avait pas laissé l’image d’un mathématicien aussi facétieux.
    Merci beaucoup pour ce bel article !

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    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 01:11, par Vincent Borrelli

      Je ne sais pas si Nash est vraiment facétieux. Annoncer que l’on a résolu une question essentielle alors qu’il n’en est rien s’apparente plus à un suicide scientifique qu’à une plaisanterie, même de mauvais goût. Je crois que Nash voulait être certain que la question qu’on lui avait posée était digne de son attention. L’annonce outrageusement mensongère de sa résolution était probablement à ses yeux la meilleure stratégie pour s’assurer de son intérêt.

      Cordialement.

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  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 11:52, par ROUX

    Monsieur, j’avais déjà cheminé avec vous et Kakeya.

    En sciences expérimentales, nous avons une suite de critères pour faire un théorème : il suffit de trouver « n » couples d’évènements identiques pour faire un théorème, tous les couples ne répondant pas au théorème étant des erreurs, souhaitées passagères, de mesure.

    Tendrement, nous donnons un nom à chaque valeur de « n » : si « n=1 », c’est le critère du biologiste, si « n=2 », c’est le critère du chimiste, etc.

    Par exemple, les mathématiciens ont depuis longtemps dépassés le critère du chimiste : « Tous les mathématiciens sont barbus ».

    Après cet article, vous avez atteint le critère du chimiste et je peux faire un théorème : « Chaque production de Vincent BORRELLI est un modèle de pédagogie et de certitude de voyager, heureux de comprendre, dans de beaux territoires mathématiques ».

    Et comme les barbus, je sais déjà, à mes plus grands plaisirs futurs de vous lire, que vous dépasserez très largement le critère du chimiste.

    Merci beaucoup, monsieur BORRELLI !!!

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    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 00:48, par Vincent Borrelli

      Merci pour ce commentaire et vos compliments. Désormais la pression est là pour le cas n=3.
      Cordialement.

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  • Gnash, un tore plat !

    le 10 juin 2012 à 14:37, par subshift

    Fantastique ! Merci beaucoup.

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  • Gnash, un tore plat !

    le 11 juin 2012 à 13:16, par électron

    Intéressant. Et je crois savoir également qu’une des difficultés, au-delà de la visualisation, réside dans le calcul effectif des corrugations successives sur ordinateur. A partir d’un certain nombre d’itérations, cela nécessite l’usage intensif d’un cluster parallèle. Du moins si ma mémoire est bonne, c’est ce qui ressortait d’une conférence de Francis Lazarus sur le sujet, sans aucune image du plongement, ce qui était frustrant ! Il est maintenant possible d’admirer ce bel objet, merci.

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    • Gnash, un tore plat !

      le 13 juin 2012 à 01:07, par Vincent Borrelli

      Votre commentaire me permet de souligner la difficulté que nous avons eue à effectuer le calcul des corrugations. Comme on le devine sur les images, le nombre de corrugations augmente exponentiellement. Pour les représenter il faut donc s’appuyer sur des maillages assez fins. Concrètement, nous avons eu besoin d’une grille 10000x200000 soit 2 milliards de sommets (pour comparaison, le projet de digitalisation 3D du David de Michel-Ange —5 mètres de haut environ— à la précision du quart de millimètre a nécessité 1 milliard de polygones).

      Nos calculs ont été effectués au mésocentre CIMENT. Pour les deux images en haute définition de l’article, elles ont été réalisées au CSCS.

      Pour info, la conférence de Francis Lazarus est visible ici.

      Cordialement.

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  • Question naïve

    le 11 juin 2012 à 17:49, par subshift

    Ceci est aussi un plongement isométrique d’un tore plat, non ? (Désolé pour la piètre qualité de l’image...)

    Plus sérieusement, existe-t-il un polyèdre homéomorphe à un tore de révolution qui admette un patron carré ? (On peut dire qu’admettre un patron carré est équivalent à être un plongement isométrique.)

    Les deux exemples donnés en images ici ne répondent pas à la question car leur patron n’est pas carré.

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    • Question naïve

      le 12 juin 2012 à 10:14, par Rémi Peyre

      Bonjour,

      Oui, votre pliage est bien un plongement isométrique du tore plat, du moins sous réserve qu’à aucun endroit la feuille ne soit « complètement pliée », c’est-à-dire qu’on ait une arête à 180° qui amène les deux faces de la feuille à se plaquer l’une contre l’autre.

      La différence avec le problème de Nash, c’est qu’ici votre feuille de papier forme des « arêtes » — ce qu’en langage mathématique on appelle une singularité. Dans le problème de Nash, la question est de trouver un plongement isométrique du tore qui soit « de classe $\mathcal{C}^1$ », c’est-à-dire sans ce genre de singularités.

      Pour le second point de votre question, si on s’autorise les arêtes mais qu’on veut faire les choses de façon purement matématique (plutôt que par origami ;-)), j’avoue ne pas connaître la réponse pour ma part (même si je n’ai guère de doute qu’elle a déjà été résolue). Toutefois, j’ai l’impression que le polyèdre de Császár répond positivement à votre question, car le fait que son patron pave le plan (sous réserve que j’interprète bien le texte : car il n’est pas clair si c’est le vrai patron qui pave le plan ou seulement le schéma où tous les triangles sont dessinés équilatéraux) implique (sauf erreur de ma part) qu’on peut utiliser ce pavage pour obtenir un nouveau patron qui, lui, est rectangulaire.

      Cordialement.

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    • Question naïve

      le 13 juin 2012 à 01:16, par Vincent Borrelli

      Les questions dites naïves se révèlent souvent assez sournoises. C’est le cas ici.

      Comme le souligne Rémi Peyre, il est peut-être possible de transformer le patron du polyèdre de Császár en un patron rectangulaire. Néanmoins, le polyèdre en lui-même n’est pas l’image isométrique d’un tore plat. En effet, une telle image devrait satisfaire à la contrainte suivante : pour chacun de ses sommets, la somme des angles au sommet doit valoir 360°. Le petit film d’animation visible sur la page wiki montre clairement que cette égalité à 360° n’est pas satisfaite, par exemple pour le sommet commun au six triangles bleus. Des images de tores plats polyédriques se trouvent ici. Je n’ai pas vérifié si l’on peut les déplier en un carré ou en un rectangle.

      En 1965, Burago et Zalgaller ont démontré un résultat analogue à celui de Nash et Kuiper pour les polyèdres. Un corollaire de leurs travaux est qu’il existe de nombreux polyèdres qui répondent à votre question, et dont certains seront très proches du tore de révolution.

      Merci pour vos commentaires et votre belle question.

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      • Question naïve

        le 13 juin 2012 à 01:21, par Vincent Borrelli

        Un typo pour la date, c’est 1996 et pas 1965.

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  • Gnash, un tore plat !

    le 24 juin 2012 à 00:02, par Rémi Peyre

    Félicitations pour ces jolies images. Cependant, j’ai beaucoup de mal à comprendre visuellement que le tore représenté sur ces images est en fait plat, ce qui me frustre un peu... Avez-vous essayé de peindre un motif typiquement euclidien, par exemple une grille (avec éventuellement des sous-grilles moins marquées), ou un damier, sur l’image tridimensionnelle obtenue ? Je serais curieux de voir ce que cela donnerait...

    Cordialement,

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    • Gnash, un tore plat !

      le 8 juillet 2012 à 10:39, par Vincent Borrelli

      D’abord, toutes mes excuses pour ma réponse tardive.

      Oui, vous avez raison, ce serait éclairant d’avoir l’image d’un damier noir et blanc. Et pour être franc votre message nous a motivé pour nous lancer dans la réalisation d’une telle image. Hélas, cela prend (comme toujours) plus de temps que je n’aurais pu l’imaginer. Dès que l’image est prête, je rajoute un commentaire avec un lien pour la télécharger.

      Cordialement,

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      • Gnash, un tore plat !

        le 11 juillet 2012 à 14:43, par Vincent Borrelli

        Ca y est, les images sont là ! Je vous laisse les découvrir ici.

        Cordialement,

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  • Gnash, un tore plat !

    le 1er juillet 2012 à 19:54, par Nicolas Tholozan

    Magnifiques images !

    Mais dites-moi, la courbure d’un tore plat n’est-elle pas censée être nulle ? i.e. un tore plongé isométriquement n’est-il pas censé être, justement, « plat » ?
    La réponse est probablement dans le « C1 », et amène une autre question : quelle est la superficie de ces plongements ?

    Merci pour cet article !

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    • Gnash, un tore plat !

      le 8 juillet 2012 à 11:09, par Vincent Borrelli

      Tout à fait ! La courbure du tore plat, c’est-à-dire la courbure de la geôle-écran, est nulle. Cette geôle-écran est d’ailleurs toute plate... Mais un phénomène subtil a lieu lorsqu’on la représente dans l’espace tridimensionnel en préservant les distances. La surface obtenue est si cabossée qu’elle empêche tout calcul de courbure. Ceci a une conséquent troublante : on ne peut plus parler de courbure pour l’image du tore plongé isométriquement.

      Techniquement, pour calculer une courbure il faut dériver deux fois (être C²) or l’image ne permet de dériver qu’une seule fois (elle est C¹), cette image ne possède donc pas de courbure. En fin de compte, la courbure de la surface obtenue n’est ni nulle, ni positive ou négative, elle n’existe tout simplement pas...

      Le tore plat étant plongé isométriquement, toutes les distances sont préservées. Cette propriété importante en implique une autre : les aires sont également préservées. Ainsi, la superficie de l’image est exactement celle de la geôle-écran.

      Cordialement,

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