8 mai 2013

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  • Proposition de solution au problème n°5

    le 1er mai 2016 à 21:56, par QuentinC

    L’élève k appuie sur l’interrupteur de la lampe n si et seulement si n est un multiple de k, ou autrement dit si n est divisible par k.
    Donc, la lampe n change d’état autant de fois que n a de diviseurs.

    Appuyer un nombre pair de fois sur un interrupteur ne change pas l’état final de la lampe. Les lampes qui sont éteintes à la fin sont donc celles qui ont été basculées un nombre impair de fois.
    ON sait qu’un nombre n ne peut avoir un nombre impair de diviseur que si et seulement si c’est un carré parfait (merci pour le rappel, cf. problème 2)

    Par conséquent la lampe n est éteinte si n est un carré parfait, et allumée sinon.

    Il existe exactement ceil(sqrt(n)) carrés parfaits <= n (le nombre 1 compte aussi comme carré parfait).
    Soit donc 32 carrés parfaits jusqu’à 1000.

    Il y a donc 32 lampes éteintes et 968 lampes allumées.

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