12 février 2009

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  • De beaux entrelacs

    le 7 mars 2009 à 15:47, par Pemadolma

    Il m’arrive de dessiner des entrelacs pour les réaliser ensuite dans des mandalas de sable de tradition tibétaine.J’ai donc été très interéssée par votre article qui me donne des clés pour de nouvelles constructions.
    Dans la tradition bouddhiste, on trouve le célèbre noeud d’éternité à une seule composante. Je ne peux pas joindre d’images à ce message mais vous le connaissez sans doute.
    Je découvre ce site et j’y vois beaucoup de choses passionnantes, je pense y revenir souvent. Merci

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    • Nœud à une seule composante

      le 8 mars 2009 à 20:39, par Christian Mercat

      Chère Pemadolma, merci pour votre commentaire. Un nœud à une seule composante est un peu une tautologie pour un mathématicien. Mais j’imagine que vous voulez parler de ce nœud ci :

      Cordialement, Christian Mercat

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  • noeud ou entrelacs ; et sur une surface

    le 5 décembre 2017 à 18:07, par Christopher-Lloyd Simon

    Cher Christian Mercat,

    Merci pour ce très bel article.

    Est-ce qu’on sait caractériser les graphes planaires qui proviennent d’un noeud et ceux qui proviennent d’un entrelacs. De manière plus générale sait-on exprimer le nombre de composantes de l’entrelacs comme une fonction du graphe ?

    Et sur une surface de genre g, disons pour une union de courbes qui remplit la surface (dont le complémentaire est une union de disques topologiques), on aurait envie de dessiner les graphes des régions, il ne sont plus forcément duaux.
    En essayant sur le tore pour l’union d’un méridien et d’un parallèle, il y a une région, et un croisement, mais il y a une ambiguité topologique dans la façon dont on relie l’arête au sommet.
    Y-a-t-il une façon de s’en sortir pour avoir une belle correspondance entre (multi)courbes et (ensembles de) graphes ?

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    • nœud ou entrelacs ; et sur une surface

      le 20 décembre 2017 à 11:42, par Christian Mercat

      Cher Christopher,

      Il n’y a pas de manière simple de déterminer cela, à part certaines symétries (axiale passant par deux sommets par exemple, de rotation d’une portion paire du tour complet), qui assurent que le nombre de composantes est plus grand que 1, ce n’est pas un algorithme simple. On peut l’écrire comme une fonction de partition d’un système statistique, mettre de la température et de l’énergie/probabilité plutôt que faire de la combinatoire. Ce sont des idées de cette sorte qui ont donné lieu au polynôme de Kauffmann ! C’est bien expliqué par exemple dans le livre de Sossinsky, Nœuds.

      Sinon, effectivement, sur une surface, il y a une question de parité intéressante, si une courbe fermée coupe un nombre impair de courbes, le théorème de Jordan ne s’applique plus et on ne peut pas faire la décomposition en zones paires/impaires, si bien que la dualité de Poincaré ne fonctionne plus, le graphe est « auto-dual ». On peut s’en sortir en prenant un revêtement double de la surface et là, le théorème de Jordan s’applique de nouveau, la dualité de Poincaré est rétablie et le monde est de nouveau binaire, noir et blanc :-)

      Cordialement, Christian

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  • VidéoDiMath

    le 28 janvier à 17:23, par Christian Mercat

    Nous avons tourné une vidéo sur le site VidéoDiMath.

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