Article très bien fait, mais qui sous-entend que la nature est partout et toujours déterministe... Il y a maintenant un siècle que l’on sait que ce n’est pas la cas, et une petite phrase de précautions mentionnant la nature quantique des phénomènes aux petites échelles aurait été bienvenue.

Merci pour ce commentaire.

La question du déterminisme en physique est complexe et je ne suis pas d’accord avec vous lorsque vous dites qu’on sait que la physique n’est pas déterministe. La physique quantique nous propose un déterminisme différent de celui de la mécanique classique, certes, mais il me semble bien que l’équation de Schodinger est déterministe. De toutes façons, cette question est subtile et il serait difficile d’en débattre dans ces commentaires.

Les effets quantiques sur le moulin sont véritablement microscopiques mais vous avez raison d’aborder cette question du déterminisme d’autant plus qu’elle touche à un autre aspect, pas du tout négligeable cette fois, et dont nous aurions du parler.

Peut-être qu’il y a une légère brise qui souffle et ceci perturbe un tout petit peu le moulin. Peu, mais beaucoup plus que les effets quantiques. Même mon propre souffle si je m’approche du moulin... Et ceci pourrait engendrer des modifications du mouvement de la roue après un temps suffisant, et c’est effectivement ce qui se passe. Mais la même conclusion que nous avons constatée se constatera également : si je place la roue dans un milieu soumis à des petites perturbations aléatoires, comme par exemple de petites vibrations ou le souffle du vent, eh bien, le mouvement en sera perturbé de manière importante, mais la statistique de la roue ne le sera pas, exactement comme nous l’avons constaté lorsqu’on change un tout petit peu la condition initiale. Les spécialistes parlent de stabilité stochastique. Un système dynamique stochastique ne suit pas un mouvement déterministe : il est astreint à une certaine équation de mouvement, mais on lui ajoute une perturbation aléatoire faible. Il se trouve que le moulin de Lorenz a également cette propriété de stabilité stochastique.

En résumé, les effets quantiques existent, bien sûr, et bien d’autres effets secondaires existent dans la pratique, mais les conclusions de Lorenz sur son moulin sont quand même valables. La statistique des orbites est non seulement insensible aux conditions initiales, mais elle est également insensible aux petites perturbations stochastiques.

Merci de m’avoir signalé cette question.

Cher Monsieur,

Merci pour vos commentaires. Je ne suis pas sûr que nous employons les mêmes mots exactement de la même manière, mais je vais essayer de répondre à vos questions/remarques.

Ce que vous dites relativement à la «fractalité» d’une partition. Je ne parlerais pas de fractalité d’une partition mais je pense comprendre ce que vous voulez dire. Lorsqu’on fixe une partition P de l’ensemble des conditions initiales, on peut en déduire toute une série P_T: pour chaque temps T=1, 2, ... , on dit que deux points sont dans la même partie de la partition P_T si d’une part ils sont dans la même partie de P et si cela est encore le cas après 1,2, 3, ..., T secondes. Le nombre de parties qui constituent P_T croît quand T tend vers l’infini, typiquement à une vitesse exponentielle de l’ordre de exp( h T) pour un certain nombre $h$ qu’on appelle l’entropie. L’entropie est un ingrédient essentiel dans la compréhension du chaos, mais ce n’est pas le seul.

Remarque «politique». Je ne pense pas que la nationalité de Mandelbrot soit en cause. D’une part, il est bien établi dans notre communauté que la «nationalité scientifique» d’un mathématicien n’est pas celle de son passeport ni celle de son pays de naissance : c’est le pays où il travaille tout simplement. Je pense que les américains considèrent que Mandelbrot est américain (ce qu’il est peut-être devenu d’ailleurs) même si son accent français est impressionnant. Par ailleurs, mais ce serait un long débat, il ne faudrait pas non plus considérer que Mandelbrot est à la base de la théorie du chaos ! Même lui, pourtant peu avare de louanges à son propre égars, ne dirait pas cela ! Il y a tant de prédécesseurs bien avant lui.

Gödel et indécidabilité. Là aussi, c’est très compliqué et on ne peut pas discuter de cela en quelques lignes.Il ne faut pas confondre non plus l’indécidabilité avec une complexité de calcul. Ce sont des concepts différents. Mais vous avez sûrement raison au niveau de l’intuition : je pense que quelques logiciens ont effectivement en tête ce genre d’images lorsqu’ils parlent de décidabilité.

Bien cordialement,

Etienne Ghys

Merci de prêter attention à mes très intrépides considérations intuitives.

Poincaré disait que le hasard se manifeste quand une petite cause (modification infime des conditions initiales) a pour effet une grande conséquence (pile ou face). L’image (par l’aléa) d’une petite zone des conditions initiales est répartie partout et une autre petite zone aura la même image. C’est exactement ce que vous expliquez (mais en beaucoup plus intéressant sur la piste verte).

Nous sommes dans une nouvelle épistémologie au delà de l’opposition déterminisme-liberté. Notre existence est faite de «grandes décisions» qui parfois n’ont que peu de conséquences à long terme, mais aussi de petites décisions qui ont un effet déterminant à long terme (la décision de ne pas faire quelque chose a des conséquences sous évaluées, la plupart du temps). Le premier cas est entropique, le second néguentropique, entre les deux le «déterminisme».

Il me semble que nous tendons vers une physique informationnelle. Le déterminisme réversible s’exerce à information constante, la croissance de l’entropie fait perdre de l’information sur les conditions initiales (amnésie), sa décroissance en fait gagner (découverte historique).

Vu sous cet angle, le grand problème n’est pas celui du futur, mais du passé, que l’entropie plonge dans le brouillard. L’écoulement du temps nous fait découvrir de nouvelles choses sur le passé (la préhistoire, par exemple). Cette découverte est une information à effet néguentropique.

Nous vivons (communauté scientifique) dans la néguentropie créée par la découverte de la préhistoire. Cette vérité du passé fournit un autre éclairage sur l’avenir. La fin du monde n’est plus le Retour du Christ, mais la mort thermique, le triomphe de l’entropie, l’amnésie totale du passé, l’Alzheimer planétaire.

Cette crainte de l’Alzheimer se manifeste par la Lutte Contre le révisionnisme (je vous rassure : je ne suis pas révisionniste, sauf en matière épistémologique). Nous sentons que le passé nous échappe, qu’il faut des lois pour le renforcer. Nous imposons des conditions initiales officielles.

La modification au cours du temps de l’image du passé est un phénomène complexe d’illusion temporelle de nature thermodynamique (entropie=amnésie) et donc physique. (Qui a jamais douté, parmi les scientifiques, que nous obéissions aux lois de la physique ? )

La découverte scientifique est plus néguentropique encore que la découverte historique. L’Occident peut être considéré comme porteur du flux néguentropique dominant de la Terre.

Alors, pourquoi la crise ? C’est que l’illusion temporelle cause un courant entropique, et une puissante illusion temporelle est produite par le darwinisme tandis que la physique de Gödel explique fort bien ce que j’expose.

Ce sont les sciences humaines qui nous conduisent droit dans le mur.

Que pensez vous de mes intuitions ? Chacune d’elle viole un axiome implicite de la pensée scientifique, qui est celui de l’unité de la science, à savoir que Darwin et Gödel sont tous les deux des scientifiques. Gôdel est néguentropique (comme Mandelbrot et Lorenz), Darwin est entropique. La découverte de la préhistoire est néguentropique, mais les mythes préhistoriques sont entropiques. L’histoire naturelle est de la même nature épistémologique que la science-fiction, et les sciences humaines sont de la fiction de science donnant des leçons de morale au cours de Luttes Contre.

Ne serait-il pas temps que les mathématiciens reprennent la barre de la philosophie comme au temps de Leibniz ?

Je ne pense que cela soit mentionné dans le texte, mais si vous voulez voir un tel moulin «en vrai», il est possible de le faire à la Cité des Sciences de la Villette. Mon fils de 5 ans a trouvé cela tellement fascinant qu’il est resté planté devant pendant plus d’une heure ;) !

Texte envoyé par Jean-Michel Kantor :

La «fontaine turbulente» qui est à l’entrée de la section dédiée aux mathématiques à l’Exposition permanente (Explora ) de la Cité des sciences de la Villette a fait l’objet de discussions intenses concernant sa faisabilité dans un espace public, précédant sa réalisation par un bureau technique, lors de la conception de cet espace que j’ai dirigée avec la collaboration de nombreux scientifiques, mathématiciens, physiciens et ingénieurs, entre 1981 et 1985 (en particulier dans ce cas avec l’aide de David Ruelle).
Les photos de la fontaine sont un complément intéressant à la belle animation de votre article.
Voir :

http://www.cite-sciences.fr/francais/ala_cite/expo/explora/mathematiques/math_16.htm

Jean-Michel KANTOR

je voudrais savoir (sinon j’aimerais le proposer) si les seaux du moulin à eau de lorenz sont numérotés (mettons en numérotation binaire ou par des nombres premiers!)? ainsi nous pourrions lire le phénomène comme une sorte de codage par une suite chaotique de nombres successivement positifs ou négatifs croissants ou décroissants.

le moulin de lorenz est un système circulaire discret (ce serait intéressant de voir ce que cela donne avec une roue «continue»!) qui ressemble à un ruban d’une machine (genre turing) qui pourrait se mouvoir de gauche à droite. si chaque seau est muni d’un signe «convenable», alors le mouvement chaotique génère un «message» chaotique, qui, comme en mécanique, serait l’image de la transformation d’un mouvement circulaire en mouvement rectiligne alternatif (bielle,...). je parle en plasticien, je ne sais pas quelle genre d’étude cela pourrait générer mais on pourrait tenter, pour voir.

Bonjour,
je m’intéresse à la roue de Lorenz (j’en ai construit une moi-même) et je me pose deux questions à son sujet.
Tout d’abord, y a-t-il un phénomène de doublement de période pour la roue de Lorenz, si oui, comment se manifeste-t-il ?
Aussi, comment avez-vous fait pour créer votre simulation vidéo ?
Merci d’avance !

À votre avis, le moulin de Lorenz est-il difficile à réaliser ? J’en avais vu un à la Cité des Sciences, à l’expo permanente des Mathématiques.

Pour avoir passé des semaines à étudier la question technique dans le cadre de la Cité des Sciences ,d’abord avec un projet d’un mathématicien génial mais bricoleur ’’original ’’ ,Larry Siebenmann,puis avec des ingénieurs mandatés par la Cité, je peux affirmer que la réalisation n’est pas si évidente .
Il est vrai que dans le cadre de la Cité il fallait que l’objet soit manipulable tout en restant robuste ,et tienne le coup plus ed quelques jours !
Bon courage tout de même !

Bonjour,
et merci pour votre travail remarquable.
Comment se fait-il que les attracteurs de Lorenz et du moulin de Lorenz soient si proches ? Les équations du système dynamique du moulin seraient-elles très proches des trois équations de Lorenz ? Sinon, comment comprendre cette ressemblance entre les deux attracteurs ?
En vous remerciant pour votre réponse
Bien cordialement

Cher Ckol,

Merci pour vos gentils commentaires !

Vous posez une excellente question ! Pourquoi diable l’équation du moulin devrait ressembler à celle de Lorenz ? Pour être honnête, je répondrais : je n’en sais rien ! Je vais cependant essayer de donner quelques pistes.

D’abord, les équations ne sont pas les mêmes parce qu’elles ne mettent pas en jeu le même nombre de variables. Pour Lorenz, c’est 3, mais pour le moulin, il faut donner le niveau d’eau dans chaque sceau d’eau.

Le miracle, c’est que trois nombres suffisent pour décrire à peu près le moulin et que cet «à peu près» suffit.

D’abord, voici un article qui écrit les équations :

https://workspace.imperial.ac.uk/physicsuglabs/public/3rd_Year_Projects/3rd%20yr%20proj_waterwheel_amjphys.pdf

Bon, on a les équations, mais alors ? En fait, une réponse partielle à votre question vient du fait que l’équation de Lorenz est comme on dit «robuste», et que c’est pour ça qu’elle est intéressante. En fait, elle est «stochastiquement stable» : toute petite perturbation, y compris stochastique, a le comportement de Lorenz. L’article suivant est peut-être trop difficile, mais il explique ce point de vue :

http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/lorenzparadigme.pdf

C’est précisément à cause de ce côté que j’appelle «paradigme» que Lorenz explique, non pas tout, mais au moins tout ce qui lui ressemble. Si une équation ressemble un peu à Lorenz, elle présente le même genre d’attracteurs.

J’espère que ceci répond un peu à votre très bonne question !

Cordialement,

Etienne Ghys