21 mars 2014

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  • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

    le 23 mars 2014 à 14:55, par DJAMENT

    L’article dit que si Fn est premier alors n est premier. Pourtant F4=3, qui est premier, et 4 n’est pas premier.
    La propriété ne serait-elle générale qu’à partir de n=5 ?

    Cordialement, Daniel Djament.

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    • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

      le 24 mars 2014 à 09:32, par Shalom Eliahou

      Merci pour votre excellente observation !! Il s’agit effectivement d’une regrettable petite erreur de ma part. Voici une explication qui rétablira la vérité.

      On sait démontrer que si d divise n, alors Fd divise Fn.

      En particulier, si n possède un diviseur d tel que 2 < d < n , alors Fn n’est pas premier. En effet, Fn est divisible par Fd, et sachant que 2 <= d et que F3 = 2, on a 2 <= Fd < Fn.

      Or, le seul entier positif n non premier dont tous les diviseurs propres sont inférieurs ou égaux à 2 est... n = 4.

      En conclusion, vous avez parfaitement raison. Ce que j’aurais dû écrire est :

      « On sait seulement que si Fn est premier et n est supérieur ou égal à 5, alors n est lui-même premier. »

      Encore merci pour votre observation qui m’a donné l’occasion de réparer cette erreur.

      Cordialement,

      Shalom

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      • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

        le 24 mars 2014 à 13:11, par Shalom Eliahou

        Nouvelle coquille dans la réponse ci-dessus ! Il faut lire « sachant que 3 <= d » au lieu de « sachant que 2 <= d », bien sûr.

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  • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

    le 30 mars 2014 à 21:58, par Pierre Colmez

    Je ne vois pas vraiment de raison de croire à la conjecture 1. Elle équivaut à ce que $F_{p-1}$ n’est
    pas divisible par $p^2$ si $p\equiv 1,4$ modulo $5$
    et $F_{2(p+1)}$ n’est pas divisible par $p^2$
    si $p\equiv 2,3$ modulo $5$. Comme, dans ces deux cas, le $F_n$ en question est divisible par $p$, il a une probabilité de $1/p$ d’être divisible par $p^2$, et comme la série des $1/p$ diverge (très très lentement), on aurait plutôt envie de conjecturer qu’il existe une infinité de $p$ pour lesquels $F_{p-1}$ ou $F_{2(p+1)}$ est divisible par $p^2$ (si c’est vrai c’est encore plus improuvable que la conjecture 1 car il pourrait y avoir une vraie raison pour que celle-ci soit juste...). Ce problème est très semblable à celui de l’existence d’une infinité de $p$ tels que $2^{p-1}-1$ soit divisible par $p^2$ (il est divisible par $p$ d’après le petit théorème de Fermat). Ces nombres premiers (de Wieferich car celui-ci a obtenu un critère remarquable pour le premier cas du théorème de Fermat : s’il existe $x,y,z$
    entiers $>0$ tels que $x^p+y^p=z^p$, avec $xyz$ non divisible par $p$, alors $p$ est un premier de Wieferich)
    sont très rares, mais on ne sait pas montrer qu’il en existe une infinité, ni qu’il en existe un nombre fini, ni, ce qui est plus surprenant, qu’il existe une infinité de $p$ qui ne sont pas de Wieferich. L’analogie entre les deux problèmes se voit mieux si on utilise la formule $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-(-\varphi)^{-n})$
    et que l’on fait de l’arithmétique dans l’anneau ${\mathbb Z}[\varphi]$ au lieu de ${\mathbb Z}$.

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  • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

    le 31 juillet 2016 à 16:37, par Nico59200

    Bonjour ,
    avez vous remarqué que dans le calcul de la suite de Fibonacci réduite modulo 3 :
    dans la suite périodique, avec période 0,1,1,2,0,2,2,1 de longueur 8 vous obteniez avec les deux premiers termes initiant la suite les valeurs d’initialisation de la suite de Fibonacci elle même : 0 et 1 , et que d’ailleurs les deux termes clôturant chaque répétition de la suite périodique sont eux mêmes les valeurs d’initialisations de la suite des nombres de Lucas : 2 et 1. N’y as t’il pas là une relation entre les deux suites à approfondir , cela me fait penser à un anneau commutatif .

    Cordialement

    Nicolas

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  • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

    le 31 juillet 2016 à 16:48, par Nico59200

    Précision .
    J’entends par là leurs valeurs d’initialisation propres en récurrence linéaire .
    Cordialement
    Nicolas

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    • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

      le 12 août 2016 à 12:29, par Nico59200

      Petit ajout en reprenant cette logique :
      01120221 : 01 pour Fibonacci ,12 et 02 , pour les suites intermédiaire ou la premiere X(n) = F(n-2) et la seconde Y(n)=F(n-1)+L(n-1) , la dernière générée par 2 et 1 etant L(n) la suite des nombres de Lucas .
      En reprenant la réduction modulo 3 appliquée à ces quatre suites on obtient :
      pour F(n) : 01120221
      pour X(n) : 12022101
      pour Y(n) : 02210112
      et pour L(n) : 21011202
      Toujours la même suite périodique de longueur 8 en décalage par 2 termes.

      Cordialement

      Nicolas Bègue

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      • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

        le 14 août 2016 à 14:54, par Nico59200

        PS : Les taux de croissance des quatre suites convergent tous vers Phi . Et les représentations graphiques de celles-ci via les équations suivantes concordent pour former une quasi représentation 2d d’un vortex en mouvement (donc en 4 dimensions ou une par formule ) :
        F(x) : (Φ^x-(- Φ)^-x)/sqrt(5)
        X(x) : (Φ^(x-2)-(- Φ)^-(x-2))/sqrt(5)
        Y(x) : (Φ^(x-1)-(- Φ)^-(x-1))/sqrt(5)+(Φ^(x-1)-(- Φ)^-(x-1))
        L(x) : (Φ^x-(- Φ)^-x)

        Intéressant ne trouvez vous pas ? ^^

        Cordialement

        Nicolas Bègue

        PS2 : sauriez vous me confirmer si ces suites intermédiaires ont déjà été étudiées ou mêmes découvertes ?

        Au cas ou ce ne serait pas le cas j’ai une petite idée pour leurs noms .^^

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        • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

          le 14 août 2016 à 20:42, par Nico59200

          Erratum petite typo pour X(x) c’est (x+2) et non (x-2) .
          Cordialement

          Nicolas Bègue

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          • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

            le 14 août 2016 à 20:49, par Nico59200

            Idem pour X(n) précédemment c’est F(n+2)
            Nicolas Bègue

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    • Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

      le 23 août 2016 à 21:23, par Nico59200

      Bonsoir,
      Voici un dernier ajout , J’ai étendu ce système à chaque unité de la suite périodique 01120221 ce qui génère huit suites répondant toutes aux conditions initiales de F(n)=F(n-1)+F(n-2) , mais étant les seules commençant par le numéros hérités de la suite périodique . La suite de Fibonacci est la première et la suite des nombres de Lucas est la septième .

      F(n)
      F(n+1)
      F(n+2)
      F(n-2)+L(n-2)
      F(n-1)+L(n-1)
      F(n)+L(n)
      L(n)
      F(n-1)

      .
      Bien cordialement
      Nicolas Bègue

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