Hum... Et si Ana avait proposé une grille carrée avec un nombre impair de lignes ?

J’ai l’impression que cela ne serait pas possible mais je ne vois pas comment le démontrer (ni d’ailleurs comment montrer que c’est possible en dehors d’exhiber une grille qui fonctionne...).

Il me semble aussi que ce soit impossible. Je pense avoir trouvé un argument « assez » simple.
On note n le coté du damier (qui est impair). On peut montrer que les sommes des lignes et des colonnes sont les nombres -n, -n+1, ..., n , ce qui fait 2n+1 nombres mais que les nombres n et -n ne peuvent pas être atteint sur une même grille (si c’était le cas, ils seraient atteint sur deux lignes par exemples et il n’y aurait plus assez de sommes possibles sur les colonnes pour avoir assez de sommes distinctes). On en déduit qu’il y a autant de sommes impaires que paires qui sont atteintes sur la grille solution.

Or cela est impossible quand n est impair. En effet, si l’on se donne une grille remplie avec p sommes pairs et i sommes impaires (p+i = 2n), alors si l’on change un élément quelconque de la grille, soit p et i sont inchangés, soit on fait quelque chose comme p -> p+2 et i -> i-2 (ou l’inverse). Si l’on part d’une grille avec que des 0, alors on a i=0 et p=2n. En faisant le procédé précédent pour aller vers une potentielle grille solution, on voit que c’est impossible car on peut au mieux arriver sur i=n-1 (nombre pair) et p=n+1 mais jamais sur i=p=n qui est exigé par une grille solution.