12 octobre 2014

8 messages - Retourner à l'article
  • Série harmonique et sagesse populaire

    le 27 octobre 2014 à 12:23, par fluvial

    Bonjour,

    Merci beaucoup de votre article.

    Juste une petite question de calcul :
    En minorant chacun des termes 1/n+k ,k=1,⋯,n par 1/2n , on aura ainsi S2n −Sn ≥ 1/2n +1/2n +1/2n +⋯+1/2n =n/2n =1/2.

    Pourquoi cela fait-il à chaque fois 1/2n svp ?
    Le calcul à faire est 1/(n+k) - 1/2n, est-ce bien cela ?

    Merci beaucoup !
    fluvial

    Répondre à ce message
    • Série harmonique et sagesse populaire

      le 31 octobre 2014 à 17:01, par Aboubakar Maitournam

      Cher Fluvial,

      merci aussi à vous car vos questions et suggestions ont permis d’améliorer la version finale de l’article. Par rapport à votre question, n étant un nombre entier fixé (même si on ne lui a pas donné une valeur explicite), on considère les nombres entiers n+1, n+2, n+3, ...etc jusqu’à n+n=2n, donc on considère les n nombres entiers suivant n. Ceci est mathématiquement résumé par n+k, pour k allant de 1 à n (k=1,...n). Chacun de ces n nombre entiers : n+1, n+2,.......jusqu’à n+n=2n est clairement inférieur ou égal à n+n (=2n). En inversant ces nombres entiers le sens des inégalités change (3 > 2 mais 1/3 < 1/2) (« Beaucoup d’entre les premiers seront les derniers »). Ainsi l’inverse de chacun des n nombres : n+1, n+2,....n+n ; est supérieur ou égal à 1/2n et comme il y en a n, la somme est supérieure ou égale à ½. Bref l’ingrédient est la remarque triviale p>q (p, q entiers non nuls supérieurs à 1) implique que (1/p < 1/q).

      Amicalement.

      Aboubakar Maitournam

      Répondre à ce message
      • Série harmonique et sagesse populaire

        le 3 novembre 2014 à 11:05, par fluvial

        bonjour,
        merci de vos excellentes explications ! j’ai compris le calcul mais il faut avoir l’idée de faire tout ça ! ça ne me serait jamais venu à l’esprit.....

        Répondre à ce message
  • Série harmonique et sagesse populaire

    le 20 février 2017 à 22:09, par furo20

    Bonsoir,

    Merci infiniment pour ces explications vraiment très claires (pour moi), vraiment accessibles, et très compréhensibles !

    Ca faisait environ 1h que je comprenais pas pourquoi la série harmonique était divergente. J’ai cherché sur tout pleins de forums et sites, mais votre démonstration a été celle que j’ai compris du premier coup sans devoir relire encore et encore pour au final, ne pas comprendre le pourquoi du comment.

    Bref, je vous remercie.

    Ce qui est génial, c’est aussi que des concepts/définitions/propriétés sont aussi incluses dans cette article, ce qui amène la facilité à la compréhension du texte, bravo ! Moi qui suis pas douée en math, je comprends enfin cette démo !

    J’ai ajouté ce site à mes favoris

    Répondre à ce message
  • Série harmonique et sagesse populaire

    le 15 février 2018 à 14:23, par Hébu

    Serait-ce exagéré de dire que la série harmonique démontre la maxime « les petits ruisseaux font les grandes rivières » ?

    Et il faudrait alors continuer. Démontrer « patience et longueur de temps,... », « bien mal acquis .. », « neige en novembre... », etc.

    Répondre à ce message
    • Série harmonique et sagesse populaire

      le 16 février 2018 à 18:10, par Aboubakar Maitournam

      Démontrer une propriété mathématique à partir d’une maxime est un peu exagéré car une démonstration suppose une suite finie d’étapes « logiques » déduites les unes des autres pour aboutir à un résultat très souvent sous des hypothèses claires (exemple d’un théorème) dans un cadre « normé » (axiomes, lemmes,). Une maxime est une « vérité populaire » très souvent vérifiée (elle n’est pas une vérité absolue) par les faits, probablement établie par certains esprits éclairés et très bons observateurs de la nature. Il y a une analogie certaine entre la divergence de la série harmonique et certains proverbes mais bien entendu on ne saurait affirmer que ces maximes démontrent la divergence de la série harmonique. Elles illustrent cette divergence plus qu’elles ne la prouvent. Du reste certaines vérités ou propriétés mathématiques sont tellement générales et abstraites qu’a priori, on ne peut établir d’analogie directe entre ces dernières et la « réalité ».

      Répondre à ce message
      • Série harmonique et sagesse populaire

        le 17 février 2018 à 10:16, par Hébu

        Mon propos (qui tenait plutôt de la boutade) ne visait pas à démontrer la formule par la maxime, mais à l’inverse, « prouver » la maxime via un argument mathématique. Simple variante sur le procédé de La Fontaine, qui illustre sa sentence d’une petite histoire — qui ne la prouve pas, mais argumente en sa faveur. Et c’est en fait ce que réalise l’article.

        Et puis, Esope et Euclide ne font pas le même travail, rien ne leur interdit pourtant de s’attabler de temps en temps pour partager une chope !

        Quant aux « vérités » transportées par les maximes, on en trouve qui se contredisent — drôle d’arithmétique !

        Répondre à ce message
        • Série harmonique et sagesse populaire

          le 17 février 2018 à 17:15, par Aboubakar Maitournam

          Un pot (imaginaire) échangé entre Esope et Euclide ne serait pas si incongru que ça car d’une part Euclide n’est pas « exclusif » (« que nul n’entre ici s’il n’est géomètre » n’est pas de lui) et d’autre part une maxime est un condensé de vérité résumée en une formule lapidaire, synthétique, destinée à instruire les hommes, surtout à les rendre sages donc prudents, réfléchis. On suppose en effet et par exemple que tout le monde sait que “rien ne sert de courir, il faut partir à point” . De même les mathématiques apprennent la prudence car il faut y avancer comme un caméléon (non en changeant de couleur) mais en faisant attention à là où « on met les pieds » car chaque étape mathématique doit être concise. En fait, ce qui comme objet mathématique générique est très proche d’une maxime est (il me semble) un axiome car lui aussi est une vérité admise non démontrée ou démontrable mais vérifiée et bien entendu il n’est pas absolu car “l’exception confirme la règle”. En effet tout comme pour une maxime, l’axiome peut être infirmé par des exceptions (exemple axiomes de la géométrie euclidienne contredits par ceux de la géométrie non euclidienne car sur une sphère, la ligne droite n’est pas le plus court chemin d’un point à un autre mais une géodésique l’est par exemple). Merci encore une fois pour vos remarques.

          Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.