27 avril 2009

10 messages - Retourner à l'article
  • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

    le 4 mai 2009 à 13:42, par Marc JAMBON

    Une correction historique.

    Voici le texte de la 5ème demande ou axiome 10 telqu’il figure dans la référence [1] que vous proposez vous même.

    Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, les deux droites prolongées à l’infini se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

    Le postulat des parallèles qui traduit l’unicité de la parallèle par un point à une droite auquel vous faites allusion s’est substitué à cette 5ème demande dans des versions ultérieures des Eléments d’Euclide revues et corrigées. Selon certains mathématiciens, Il parait que le postulat des parallèles est équivalent à la 5ème demande mais ce n’est pas aussi évident, cela suppose qu’on s’appuie sur les autres axiomes et postulats et aussi qu’on complète avec des axiomes tacitement utilisés mais qui ne figurent pas, notamment des axiomes d’ordre (les angles utilisent des demi-droites donc l’ordre). De plus en logique constructive (sans tiers exclu ni raisonnement par l’absurde ) [2] la 5ème demande est un énoncé d’existence de point tandis que le postulat des parallèles est un énoncé d’unicité, en fait un énoncé négatif (négation de droites distinctes) qui peut être prouvé sans inconvénient par l’absurde ce qui ne serait pas le cas de la 5ème demande d’où la difficulté de l’implication constructive postulat des parallèles implique cinquième demande.

    [2] GÉOMÉTRIE AVEC OU SANS TIERS EXCLU ? (recherche google)

    Répondre à ce message
    • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

      le 4 mai 2009 à 18:58, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Vous avez raison sur l’énoncé précis de ce postulat. Mais en effet, il n’est pas difficile de montrer que la forme que vous citez et celle que j’ai citée —beaucoup plus habituelle — sont équivalentes si on utilise les autres axiomes (y compris ceux qui sont « implicites », comme vous le signalez à juste titre). Mon texte n’est pas un texte sur l’histoire ancienne de la géométrie mais au contraire sur la géométrie de Gromov, celle d’aujourd’hui... C’est pour cette raison que j’ai choisi cet énoncé, dont la compréhension est bien plus facile : je ne crois pas trahir la pensée d’Euclide et c’était pour la bonne cause ! Il faut bien voir par ailleurs que l’axiomatique d’Euclide est loin d’être parfaite : on est bien loin de l’axiomatique de la géométrie donnée par Hilbert, qui prend en compte les axiomes d’ordre par exemple. Mais tout cela n’était pas le but de l’article.

      Merci pour ce commentaire,

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
  • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

    le 4 mai 2009 à 14:53, par Marc JAMBON

    Distance non euclidienne dans le paragraphe La géométrie non Euclidienne.

    Correction

    Pour obtenir une distance symétrique par rapport à A et B, il faudrait écrire valeur absolue du logarithme, de plus, sans cette valeur absolue, vous risquez aussi d’avoir une distance négative.

    Inégalité triangulaire

    La preuve de l’inégalité triangulaire est loin d’être évidente. Je pense que votre distance s’interprète comme une intégrale qui se calcule par primitive (peut-être une aire) d’où le logarithme, on aimerait bien avoir cette interprétation qui rendrait plus évidente cette inégalité triangulaire.

    Répondre à ce message
    • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

      le 4 mai 2009 à 18:24, par Vincent Beffara

      Je ne comprends pas bien la première remarque : la distance ainsi définie est symétrique ! (Remarquez que si on échange $A$ et $B$ on échange du même coup $X$ et $Y$ ...)

      Répondre à ce message
      • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

        le 4 mai 2009 à 18:56, par Marc JAMBON

        Dans le texte proposé, il est sous-entendu que les points A et B sont distincts, ce qui permet de définir la droite (AB) qui coupe le cercle en deux points X et Y, il n’est pas précisé dans quel ordre on prend les points, c’est là le problème. Si on échange X et Y, on change le rapport situé dans la parenthèse sous le logarithme en son inverse, par là même la distance est mal définie, on a une définition unique lorsqu’on prend la valeur absolue du logarithme. Il semble qu’on puisse se tirer d’affaire d’une autre façon (votre interprétation) en imposant : X et Y sont dans le même ordre que A et B sur la droite, mais ce n’était pas précisé dans le texte, la parenthèse sous le logarithme peut alors s’interpréter comme un produit de deux rapports strictement supérieurs à 1. Dans ces conditions, l’échange de A et B entraine aussi effectivement l’échange de X et Y.

        La définition se prolonge par continuité pour A et B confondus, le logarithme est alors nul,c’est précisément ce qu’il faut.

        Répondre à ce message
    • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

      le 4 mai 2009 à 19:21, par Étienne Ghys

      Cher Monsieur,

      Le texte laisse en effet entendre implicitement que les points XABY sont dans cet ordre. Vous auriez peut-être raison de regretter l’implicite dans un texte mathématique. Mais je pourrais répondre de deux manières. D’abord, il ne s’agit pas d’un texte de mathématiques ! ce n’est pas le but de Images des Maths. Ce texte parle de mathématiques, tout simplement... Mais plus sérieusement, je voudrais insister ici sur le fait qu’il n’existe aucun texte mathématique, ou presque, qui ne contienne pas d’implicites. Les mathématiques sont écrites dans une langue qui peut être le français par exemple, et cette langue contient nécessairement des implicites. S’il n’y en avait pas, le texte mathématique serait incompréhensible pour un être humain or, c’est bien le but d’un texte que d’être lu, et compris, par des humains. Il me semble me souvenir que, presque par jeu, Whitehead dans ses Principia a voulu démontrer que 2+2= 4 de manière complètement déductive, à partir des axiomes. Il en résulte quelques pages abominables, qui ont l’avantage d’être correctes mais l’inconvénient d’être inaccessibles à la plupart des êtres humains... Le but de Images des maths est d’essayer de montrer une image humaine des maths ! L’art de l’écrivain en maths consiste à bien doser la quantité d’implicites en fonction de son objectif...

      Quant à l’inégalité triangulaire, certes elle n’est pas complètement évidente, mais ce n’est quand même pas bien difficile ! Dommage que je ne puisse pas insérer de figures dans un commentaire. Un petit dessin et c’est gagné... C’est Hilbert qui a compris, en faisant le petit dessin en question, qu’il n’est pas important du tout de travailler dans un disque et que l’inégalité triangulaire marche dans un convexe quelconque. On obtient ainsi un belle catégorie d’espaces métriques, bien connue des géomètres. En tous les cas, l’interprétation intégrale n’apporte pas grand chose, même si elle même naturellement au concept de métrique de Finsler.

      Mais, de la même manière que précédemment, je ne voulais pas m’appesantir sur cette formule, qui mériterait peut-être un article à elle toute seule !

      Bien cordialement,

      Etienne Ghys

      Répondre à ce message
      • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

        le 6 mai 2009 à 08:05, par Marc JAMBON

        Je suis bien convaincu que l’essentiel de l’article est ce qui suit, mais pour comprendre ce qui suit, on aime bien comprendre ce qui précède.

        Le disque de Poincaré

        Je connaissais déjà l’exemple du disque de Poincaré où les géodésiques (lignes de plus courte distance dont vous parlez dans votre paragraphe définition) sont des arcs de cercle orthogonaux au cercle qui délimite le disque. J’ai une bonne compréhension du disque de Poincaré, c’est déjà çà ! La géométrie du disque de Poincaré est à ma connaissance qualifiée d’hyperbolique, je ne sais si vous êtes d’accord. En tout état de cause, il n’y a pas la moindre hyperbole en évidence dans cette géométrie.

        La géométrie non-euclidienne de votre exemple

        Elle ressemble à la géométrie du disque de Poincaré mais ses géodésiques ne sont (semble-t-il) plus des cercles, s’agit-il d’arcs d’hyperboles ? Si oui, comme votre figure (superbe) le suggère, on aurait la justification de la terminologie « géométrie hyperbolique ». Reste à savoir comment se convaincre que ces géodésiques sont bien des arcs d’hyperboles.

        Répondre à ce message
        • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

          le 17 novembre 2009 à 15:30, par jacques lafontaine

          la terminologie mathématique s’est construite petit à petit, avec parfois des incohérences. « elliptique » fait allusion à ellipse, « hyperbolique » à hyperbole, mais pas toujours de façon cohérente. J’avoue ne pas savoir quand a été introduit le nom de « géométrie hyperbolique » pour la géométrie de Lobatchevski.

          Je peux donner deux raisons pour cette appellation.

          a) la trigonométrie hyperbolique (relations entre angles et cotés pour un triangle du plan de Lobatchevski) fait intervenir les fonctions « sinus et cosinus hyperboliques »
          elles mêmes appelées ainsi parce qu’elle servent à paramètrer l’hyperbole.

          b) il existe un autre modèle du plan de L, où il est représenté par une nappe d’un hyperboloïde à deux nappes. Dans ce modèle, les géodésiques sont non pas des hyperboles, mais des demi-hyperboles : ce sont les intersections des plans passant par l’origine avec la nappe de l’hyperboloïde (voir le livre de Géométrie de M. Berger).
          Ce modèle permet des calculs simples, mais on peut le trouver contre-intuitif : techniquement, le plan de L.
          est réalisé comme la sphère unité d’un espace de Minkowski
          (espace vectoriel avec une forme quadratique ++-).

          On est loin d’avoir épuisé les occurences de l’adjectif hyperbolique en mathématiques. Il y a des équations hyperbolique, une dynamique hyperbolique...

          Répondre à ce message
          • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

            le 18 novembre 2009 à 00:09, par Rachid Matta MATTA

            M Étienne Ghys
            La géométrie hyperbolique est mort-née à cause de la définition arbitraire et erronée de sa parallèle hyperbolique. J’ai trouvé plus de quarante méthodes qui détectent des failles dans la géométrie hyperbolique proposée par les trois fondateurs : Lobatchevsky, Bolyai et Gauss. Tous leurs successeurs depuis 1868 et jusqu’à présent travaillent sur une géométrie inconsistante et fictive. Ils contribuent à faire échouer les réformes de l’enseignement scientifique entreprises en France et dans le monde parce que les mathématiques modernes, et surtout les géométries non-euclidiennes, sont, selon le grand savant Pierre Gilles de Gennes, le plus grand fléau de l’humanité, car elles nourrissent la raison avec des paradoxes, des fictions et des erreurs.
            En tout cas l’une de mes 10 démonstrations du cinquième postulat d’Euclide suffit pour démontrer l’unicité de la parallèle à une droite donnée dans la surface plane. Ces démonstrations ont été envoyées en 2007 par l’Ambassade de France au Liban (comme me l’a confirmé S. E. M Bernard ÉMIÉ, Ambassadeur de France en exercice à l’époque) à l’Académie des Sciences dont vous êtes un digne membre.
            La méthode d’IBN AL-HAITHAM peut suffire pour démontrer le cinquième postulat d’Euclide. Je vous invite à l’examiner sur mon site www.mathtruth-rachidmatta.com et à engager le débat scientifique du millénaire. Je suis prêt, aussi, à engager le débat sur votre site personnel si vous le permettez. Nous parlerons du quadrilatère fondamental, attribué injustement à Saccheri. Ce quadrilatère a fait trébucher Saccheri et tous ses successeurs, alors que la détection des failles dans les hypothèses de l’angle aigu ou obtus est très facile, mais à condition de comprendre la nature de la ligne droite que Dieu m’a permis de lui donner la véritable définition.
            Le triangle de Gauss et le disque de Klein et celui de Poincaré n’ont plus aucune raison d’être, et il ne faut pas être un spécialiste en géométrie pour savoir que les modèles proposés par Beltrami, Klein et notre grand savant Henri Poincaré sont illogiques, car les géométries non-euclidiennes contredisent la géométrie d’Euclide, et par conséquent, elles ne peuvent lui emprunter ses lignes. Toutes les lignes de la géométrie euclidienne sont engendrées par l’utilisation du cinquième postulat d’Euclide.
            Mon appel du premier octobre 2009 vous a été adressé ainsi qu’aux grands mathématiciens contemporains et aux membres de l’Académie des Sciences dans le but de rétablir la vérité de la géométrie euclidienne, qui seule permet d’avoir une mathématique exacte.
            Amicalement
            Rachid Matta MATTA
            Le 18 novembre 2009

            Répondre à ce message
  • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

    le 13 septembre 2014 à 09:11, par Mateo_13

    Bonjour M. Ghys,

    merci pour votre article.

    Pour information, à destination des enseignants, une axiomatique sous le théorème de Pythagore vient d’être publiée en accès libre :

    http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/special-profs-une-plongee-sous-le.html

    Cordialement,
    — 
    Mateo.

    Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.