27 avril 2009

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  • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

    le 4 mai 2009 à 19:21, par Étienne Ghys

    Cher Monsieur,

    Le texte laisse en effet entendre implicitement que les points XABY sont dans cet ordre. Vous auriez peut-être raison de regretter l’implicite dans un texte mathématique. Mais je pourrais répondre de deux manières. D’abord, il ne s’agit pas d’un texte de mathématiques ! ce n’est pas le but de Images des Maths. Ce texte parle de mathématiques, tout simplement... Mais plus sérieusement, je voudrais insister ici sur le fait qu’il n’existe aucun texte mathématique, ou presque, qui ne contienne pas d’implicites. Les mathématiques sont écrites dans une langue qui peut être le français par exemple, et cette langue contient nécessairement des implicites. S’il n’y en avait pas, le texte mathématique serait incompréhensible pour un être humain or, c’est bien le but d’un texte que d’être lu, et compris, par des humains. Il me semble me souvenir que, presque par jeu, Whitehead dans ses Principia a voulu démontrer que 2+2= 4 de manière complètement déductive, à partir des axiomes. Il en résulte quelques pages abominables, qui ont l’avantage d’être correctes mais l’inconvénient d’être inaccessibles à la plupart des êtres humains... Le but de Images des maths est d’essayer de montrer une image humaine des maths ! L’art de l’écrivain en maths consiste à bien doser la quantité d’implicites en fonction de son objectif...

    Quant à l’inégalité triangulaire, certes elle n’est pas complètement évidente, mais ce n’est quand même pas bien difficile ! Dommage que je ne puisse pas insérer de figures dans un commentaire. Un petit dessin et c’est gagné... C’est Hilbert qui a compris, en faisant le petit dessin en question, qu’il n’est pas important du tout de travailler dans un disque et que l’inégalité triangulaire marche dans un convexe quelconque. On obtient ainsi un belle catégorie d’espaces métriques, bien connue des géomètres. En tous les cas, l’interprétation intégrale n’apporte pas grand chose, même si elle même naturellement au concept de métrique de Finsler.

    Mais, de la même manière que précédemment, je ne voulais pas m’appesantir sur cette formule, qui mériterait peut-être un article à elle toute seule !

    Bien cordialement,

    Etienne Ghys

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