27 avril 2009

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  • Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov

    le 17 novembre 2009 à 15:30, par jacques lafontaine

    la terminologie mathématique s’est construite petit à petit, avec parfois des incohérences. « elliptique » fait allusion à ellipse, « hyperbolique » à hyperbole, mais pas toujours de façon cohérente. J’avoue ne pas savoir quand a été introduit le nom de « géométrie hyperbolique » pour la géométrie de Lobatchevski.

    Je peux donner deux raisons pour cette appellation.

    a) la trigonométrie hyperbolique (relations entre angles et cotés pour un triangle du plan de Lobatchevski) fait intervenir les fonctions « sinus et cosinus hyperboliques »
    elles mêmes appelées ainsi parce qu’elle servent à paramètrer l’hyperbole.

    b) il existe un autre modèle du plan de L, où il est représenté par une nappe d’un hyperboloïde à deux nappes. Dans ce modèle, les géodésiques sont non pas des hyperboles, mais des demi-hyperboles : ce sont les intersections des plans passant par l’origine avec la nappe de l’hyperboloïde (voir le livre de Géométrie de M. Berger).
    Ce modèle permet des calculs simples, mais on peut le trouver contre-intuitif : techniquement, le plan de L.
    est réalisé comme la sphère unité d’un espace de Minkowski
    (espace vectoriel avec une forme quadratique ++-).

    On est loin d’avoir épuisé les occurences de l’adjectif hyperbolique en mathématiques. Il y a des équations hyperbolique, une dynamique hyperbolique...

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