Bonjour,
J’ ai eu beau mettre à jour QuickTime, je n’ arrive toujours pas à obtenir les croquis contenus dans l’ article.
Que dois- faire ?
Cordialement,
Pierre Cassé

La plupart des figures de cet article sont au format svg.

Il y a un (et, me dit-on, un seul) navigateur qui ne supporte pas svg, c’est internet explorer [1]. Je suppose que votre problème vient de là.

Il semblerait qu’une solution puisse être d’installer ça

http://www.savarese.com/software/svgplugin/

Pouvez-vous essayer et nous dire si « ça marche » ?

Merci pour votre aide.

Bien à vous

michele audin

Merci

Ces formules mathématiques sont, en soi, très intéressantes. Mais il y a, selon moi, tout de même un bogue : considérons la sphère rouge en démonstration comme une peau, comment diable peut-elle se retourner sur soi-même : l’être qu’enserre cette peau n’y survivrait pas !

Et c’est ce que je trouve étrange dans cette science : elle ne réagit pas dans le réel, mais suivant celui qu’elle poursuit ; poursuite qui se poursuit sans fin réelle.

Loin de moi, cependant, de ne pas prendre plaisir au bouillonnement cérébral. Ainsi, qu’implique ce simple bouillonnement cérébral pour lui-même lorsqu’il ne répond pas à une réalité des formes vivantes en soi-même ? Je veux dire : je ne comprends pas du tout l’avantage de faire passer à travers elle-même une peau si, réellement, elle ne peut pas le faire.

Je vais prendre sur moi d’essayer de répondre à vos objections - que je trouve du reste fort bien formulées.

Tout d’abord, vous invalidez le résultat en arguant qu’un être enserré dans la peau ne pourrai survivre à son retournement : celà semble très juste. Mais pourquoi stipuler la présence d’un tel être ?

En l’occurence, on ne stipule aucunement la présence d’un tel être, et nul doute que la plupart des mathématiciens se garderaient bien d’une telle cruauté ! Le point est qu’on imagine la peau en elle-même, l’argument ne porte que sur elle, sans ajouter la contrainte de la présence d’un tel être.

Mais j’imagine que vous aviez déjà en tête ce genre de réponse. Aussi me porté-je illico sur la véritable objection, qui est le lien que doit entretenir les mathématiques et la réalité. Ce lien existe, et est même fondamental, mais il ne faut nullement imposer une tyrannie de l’un sur l’autre. Beaucoup des progrès des mathématiques ont été effectués en affranchissant l’esprit de la perpétuelle (et légitime, jusqu’à un certain point) préoccupation du réel. Vous seriez sans doute surpris à quel point la science a mis à mal la perception « naïve » que nous avons du réel en l’interrogeant en profondeur, sans concession outre que la rigueur et l’honnêteté intellectuelle, et en rejetant, autant que possible, notre vision a priori du réel, toujours suspecte de préjugés inopportuns dans la véritable quête de la vérité. La physique des particules, mise en pratique quotidiennement - dans le réel - par la production nucléaire (que je ne cherche aucunement à défendre) a largement dépassé les objections passées sur la légitimité de la conception atomique de la matière, et est même allé bien au-delà. Les mathématiques qui les sous-tendent ont un lien avec le réel qui déconcerte tous les scientifiques actuels (j’entends par là celle de la physique quantique). De même, le système GPS prouve à chaque utilisation que la conception « naïve » de l’espace et du temps est erronée et ne correspond pas au réel.

En vérité, en se familiarisant avec le langage mathématique, qui dans sa nature même ne vise pas a priori un lien intime avec le réel (on peut inventer une infinité de théorie mathématique du réel !), on se permet d’amplifier la portée de sa pensée, sans rester confiné à une vision contingente du réel.

Après tout, qu’est le réel ? Des légions de philosophes se sont échiné sur le problème sans apporter une réponse définitive approuvée de manière collective. Ils nous ont plutôt appris à nous méfier de toute prétention à une compréhension et définition absolue du réel. Les mathématiques nous fournissent des outils fantastiques pour enrichir notre pensée et conception du réel. Il se peut que certaines de ses assertions paraissent gratuites et tout à fait artificielles. Mais la longue expérience et histoire des sciences regorgent d’exemples étonnants où ce qui peut paraître complètement virtuel est finalement ce qui décrit le mieux les propriétés du réel.

Quand vous parlez de bouillonement cérébral, vous fournissez une image d’une grande activité un peu excitée qui ne produit au bout du compte que des vapeurs vite dissipées. Mais en vérité ces vapeurs apparemment impalpables de nos ancêtres sont devenues, pour les plus remarquables d’entre elles, celles qui ont traversé les âges, le plus beau des héritages qui nous aient été transmis.

En résumé, il est déraisonnable de vouloir brider la magnifique liberté intellectuelle de la pensée mathématique au nom d’une soit-disant vérité du réel qui, jusqu’à aujourd’hui, est bien difficile à cerner, même pour les théologiens et les croyants (de toute confession) les plus sincères.

Et en conclusion j’amènerai l’élément crucial de ma réponse - je ne l’ai pas fait plus tôt pour pouvoir sortir mon discours passionné mais sincère - : si, il existe des retournements de la sphère dans le réel, dans la nature même, avec un être vivant cerné par la sphère ; c’est ce qu’on appelle la gastrulation.

http://www.youtube.com/watch?v=qisrNX3QjUg

Tant qu’on est dans le plan, j’arrive à comprendre, une immersion du cercle OK. Le début de ce qui est présenté dans l’espace avec le petit film, c’est encore très bien ! Plan tangent, OK, normale, là il y a l’orientation sous-jacente, passons sur cette difficulté ! Par contre, après avoir lu l’article plusieurs fois, je n’ai aucune idée de ce qu’est une immersion de la sphère, encore moins de ce qu’est le degré ni le h-principe.

Merci pour votre message et pour votre intérêt.

Il est bien possible que nous ayons un peu raté notre coup avec cet article. À notre décharge : ce n’était pas très facile.

Je suis donc en tout cas très contente que le cas des courbes planes vous ait semblé clair.

Votre critique contient deux questions :

* celle relative à l’orientation --- qui montre que vous êtes moins naïf que vous ne voulez le laisser croire ! Pour ne pas perdre (encore plus) de lecteurs, je passe sur cette question.

* vous avez vu le film... et donc vous avez vu des tas d’immersions de la sphère. Donc vous vous faites une idée de ce qu’est une immersion de la sphère. Ce dont, après avoir lu cet article, vous n’avez pas d’idée, c’est plutôt ce qu’est la définition d’une immersion de la sphère. C’est normal, c’est assez difficile et pas du tout au niveau de ce que nous essayons de faire sur le site.

Je réponds deux choses :

* D’abord, je crois qu’il est possible de donner une idée de ce qu’est une notion mathématique sans en donner de définition , mais en en montrant des exemples. Il se peut que ce soit raté, mais c’est ce que nous avons essayé de faire dans cet article.

* Ensuite, eh bien, voici la définition d’une immersion de la sphère. C’est à la fois très simple et très compliqué (comme dit le capitaine Haddock) : une application de classe $C^1$ \[f:S^2\to R^3\] est une immersion si, en tout point $x$ de la sphère $S^2$, l’application tangente \[T_xf:T_xS^2\to R^3\] est injective. Très simple parce que très court. Très compliqué parce que la seule énumération des notions nécessaires à la compréhension de ce « très simple » me donne le vertige. Et je ne pense pas que cette définition donne vraiment idée, tant qu’on n’a pas compris quelques exemples, de ce dont il est question.

Je suis désolée de ne pouvoir donner une meilleure réponse. N’hésitez pas à continuer à lire les articles de notre site !!! Il y a beaucoup d’articles plus faciles, voire mieux écrits...

Eh bien bravo pour cet article,que je lis tardivement après sa
publication.

Dans les notes de fin d’article il y a des liens
pour atteindre des simulations animées du retournement de la sphère : note(6) signalant un film fort bien fait, surface de Morin... J’ai beaucoup aimé !

Images des maths, c’est quand même très chouette, je vais y passer la nuit...
Alors à demain matin ?
Très amicalement.
Jacqueline Struffi.