Le h-principe de Misha Gromov

Échos de la recherche

Dans cet article, nous essayons d’illustrer et d’expliquer une des belles idées de Gromov, le h-principe (principe d’homotopie) à partir de l’exemple des courbes planes « immergées ».

Piste noire

Le 25 juin 2009, par Michèle Audin et Pierre Pansu - 10 commentaires

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• Le h-principe de Misha Gromov

  le 1er octobre 2009 à 08:28, par Michèle Audin

  Merci pour votre message et pour votre intérêt.

  Il est bien possible que nous ayons un peu raté notre coup avec cet article. À notre décharge : ce n’était pas très facile.

  Je suis donc en tout cas très contente que le cas des courbes planes vous ait semblé clair.

  Votre critique contient deux questions :

  * celle relative à l’orientation --- qui montre que vous êtes moins naïf que vous ne voulez le laisser croire ! Pour ne pas perdre (encore plus) de lecteurs, je passe sur cette question.

  * vous avez vu le film... et donc vous avez vu des tas d’immersions de la sphère. Donc vous vous faites une idée de ce qu’est une immersion de la sphère. Ce dont, après avoir lu cet article, vous n’avez pas d’idée, c’est plutôt ce qu’est la définition d’une immersion de la sphère. C’est normal, c’est assez difficile et pas du tout au niveau de ce que nous essayons de faire sur le site.

  Je réponds deux choses :

  * D’abord, je crois qu’il est possible de donner une idée de ce qu’est une notion mathématique sans en donner de définition , mais en en montrant des exemples. Il se peut que ce soit raté, mais c’est ce que nous avons essayé de faire dans cet article.

  * Ensuite, eh bien, voici la définition d’une immersion de la sphère. C’est à la fois très simple et très compliqué (comme dit le capitaine Haddock) : une application de classe $C^1$ \[f:S^2\to R^3\] est une immersion si, en tout point $x$ de la sphère $S^2$, l’application tangente \[T_xf:T_xS^2\to R^3\] est injective. Très simple parce que très court. Très compliqué parce que la seule énumération des notions nécessaires à la compréhension de ce « très simple » me donne le vertige. Et je ne pense pas que cette définition donne vraiment idée, tant qu’on n’a pas compris quelques exemples, de ce dont il est question.

  Je suis désolée de ne pouvoir donner une meilleure réponse. N’hésitez pas à continuer à lire les articles de notre site !!! Il y a beaucoup d’articles plus faciles, voire mieux écrits...

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