La probabilité est 0,75

La probabilité est de 3/4.

Justification.

Soit phi l’angle entre les points A et B. (0 < phi < pi)

La probabilité que phi soit compris entre a et a+da vaut p(a)=1/pi.

Pour que A, B et C soient compris dans un demi cercle, il faut soit :

a) que le point C tombe entre A et B ; probabilité phi/2pi ;

b) que C soit à gauche de A ; probabilité (pi-a)/2pi ;

c) que C soit à droite de B ; probabilité (pi-a)/2pi.

En additionnant les probabilités des 3 cas : (2pi-a)/2pi.

Multiplions par p(a) et intégrons de 0 à pi.

On trouve 3/4.

Pour ma part, j’ai pris un cercle de périmètre 1. Le premier point A est placé n’importe où. A’ est le point diamétralement opposé. La probabilité que le deuxième point B soit en A (ou en A’) est nulle, B’ est le point diamétralement opposé à B. Je calcule q la proba de l’evt contraire : A,B et C ne sont pas dans le même demi-cercle si C est sur le petit arc A’B’, donc q=longueur de l’arc A’B’= longueur arc AB. Quand B varie de A à A’ la proba varie linéairement de 0 à 0,5 dont la moyenne est 0,25. La probabilité cherchée est 1-0,25=0,75.

Le problème posé est équivalent à chercher la probabilité qu’un nombre choisi au hasard entre 0 et 1 soit supérieur à un nombre choisi au hasard entre 0 et 0,5. En généralisant de 0 à n et de 0 à p, p>n, on trouve une probabilité de 1-n/(2p). En posant n=0,5 et p=1 on retrouve 0,75.

Bonjour,
A le premier point sur le cercle de centre O.
Construisons les quadrants.
P(B) soit dans le quadrant i = 1/4
P(ABC dans le même demi cercle )=P(B et C dans les quadrants i et i ou i et i-1 ou i et i+1)= 1/16*3*4=3/4