18 février 2015

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  • Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?

    le 18 février 2015 à 16:45, par Étienne Ghys

    Cher Clement_M,

    Merci pour vos remarques et questions qui vont me permettre de préciser ma pensée.

    Je trouve que vous évacuez un peu l’intérêt de la géométrie euclidienne dans la vie de tous les jours : faire des plans de bricolage, optimiser son rangement (en calculant des volumes), comprendre des objets du quotidien (sphère, cube, etc...), expliquer des notions simples de la vie courante : distance et angle...

    Je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie ! Loin de là. J’ai pris l’exemple du théorème de Pythagore et j’ai écrit 1/ que l’enseigner sans le démontrer n’a pas d’intérêt au collège et 2/ qu’il faut faire des choix dans ce qu’on enseigne et que, peut-être le théorème de Pythagore ne joue plus le même rôle aujourd’hui qu’il y a 50 ans. Bien entendu, je suis d’accord avec vous que « comprendre les objets du quotidiens » est une nécessité. Cubes et sphères par exemple, bien sûr. Mais de là à enseigner comme une boîte noire que le volume d’une boule est $\frac{4}{3} \pi R^3$, c’est un peu trop… Je ne suis pas sûr que beaucoup de gens ont besoin de cette formule pour leur bricolage ou pour optimiser leur rangement. Ceux qui en ont besoin la trouvent en quelques clics sur internet (s’ils savent naviguer dans le réseau internet !).

    Vous souhaitez remplacer la géométrie euclidienne par ses géométries non-euclidiennes ?

    Là encore, je n’ai pas proposé de supprimer la géométrie euclidienne :-) Il serait ridicule de remplacer la géométrie euclidienne par la géométrie hyperbolique. Je suggère simplement que nous naviguons en permanence dans des tas d’espaces différents (qu’ils soient physiques, virtuels, psychologiques ou autres) et que la « géométrie » telle que les mathématiciens d’aujourd’hui la comprennent est plurielle par essence et qu’elle ne peut se limiter à la géométrie euclidienne. Je ne propose pas de faire une révolution complète :-) mais de trouver le moyen de montrer d’autres espaces aux élèves, de leur montrer qu’ils ne se comportent pas nécessairement comme un plan euclidien et que la géométrie, bien comprise, peut aider à les comprendre mieux.

    Vous semblez attacher à la démonstration (et je le suis aussi !) donc j’aimerais savoir quelle(s) démonstration(s) voudriez-vous faire au collège à propos de cette géométrie des réseaux ?

    Je vais donner une réponse qui ne plaira peut-être pas. Il faut des démonstrations de toutes sortes. L’informatique va entrer à l’école, et c’est une très bonne chose. Un théorème en informatique, c’est un programme ou un algorithme, et faut le « démontrer » c’est-à-dire comprendre pourquoi il marche, comment il marche, à tous les coups. Cela nécessite une démarche intellectuelle. Alors, une réponse à votre question est dans mon texte : pourquoi ne pas discuter de quelques algorithmes qui permettent de trouver le plus court chemin d’un point à un autre sur une carte de géographie : y a-t-il plus géométrique que ce problème ?
    Mais je pourrais donner d’autres exemples.

    Les enseignants et ceux qui évaluent les programmes s’attachent souvent à dire qu’on ne voit les bienfaits/méfaits d’un nouveau programme que des années plus tard, ne pensez-vous pas qu’un enseignement qui colle à la réalité (comme celui que vous proposez pour la géométrie) risque de perturber les élèves comme les enseignants ?

    Là, je dois dire que je suis surpris par votre question. Vous craignez qu’un enseignement « qui colle à la réalité » perturbe élèves et enseignants ? C’est le contraire qui m’inquiète : je pense que l’une des plus grandes difficultés rencontrées par les élèves, la cause majeure de leur désintérêt pour les maths, est précisément le fait que ce qu’on leur enseigne ne colle pas avec leur réalité. S’ils s’agissait de former des chercheurs en mathématiques, je comprendrais bien qu’on propose un enseignement qui ne colle pas à la réalité (et encore ?) mais pour l’immense majorité des élèves, je suis au contraire convaincu que les maths doivent être au plus proche du réel.

    La géométrie a lentement mais sûrement disparu des programmes

    C’est un fait qu’il faut prendre en compte.

    « la géométrie c’est les mathématiques de papa »,

    Là encore, les personnes (dont je ne suis pas) qui disent « la géométrie c’est les mathématiques de papa) entendent le mot géométrie dans le sens qu’on lui donne au collège, essentiellement (ce qui reste) de la géométrie euclidienne. La géométrie, dans le sens où je comprends ce mot, va bien au delà de cela.

    au profit notamment des probabilités et des statistiques. Quand on voit ce qu’est devenu l’enseignement des probabilités (disparition de la notion d’indépendance au lycée par exemple), ne pensez-vous pas qu’il faudrait d’abord défendre la démonstration avant de penser à changer de géométrie ?

    Les deux questions me semblent indépendantes. Défendre la démonstration, je suis bien sûr pour. Mais les démonstrations ne sont pas l’apanage de la géométrie. La démonstration classique euclidienne est une forme de pensée qu’il faut préserver. Mais le raisonnement probabiliste est aussi d’une grande richesse, et très formateur également. Lui aussi, il faut le préserver. Cela dit, je crains que nous ne parlions d’un combat d’arrière garde. Le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture qui vient d’être promulgué a tout simplement oublié cet aspect de l’enseignement :-(

    Finalement, j’indique ce lien http://www.univ-irem.fr/IMG/pdf/Ann... (La géométrie, pourquoi et comment ? de Daniel PERRIN) qui me semble un bon moyen de continuer à faire de la géométrie (euclidienne d’abord et autres géométries ensuite).

    Ce document est très intéressant et je suis assez d’accord avec l’essentiel de son contenu. En particulier, il insiste beaucoup sur les différentes sortes de géométries. Le point de désaccord principal est qu’il considère qu’il faut se limiter à la géométrie euclidienne au collège. En ce qui me concerne, comme vous l’avez compris, je pense qu’il faut montrer qu’il y a de la géométrie partout, dans toutes les maths, pas seulement dans le chapitre du livre qui parle des triangles…

    En passant, j’aime bien la citation de Dieudonné qu’on trouve dans le texte de Daniel Perrin : « la trigonométrie est utile aux arpenteurs et aux auteurs de manuels de trigonométrie » ! J’ai eu l’occasion il y a un ou deux ans d’étudier le livre de géométrie écrit par Clairaut au 18 ème siècle. Dans son introduction, il écrit que les « éléments d’Euclide » sont « secs » et il n’a pas tort (je ne sais pas si vous avez déjà tenté de lire Euclide dans le texte ?). Alors Clairaut fait une innovation pédagogique : il écrit un livre du point de vue d’un arpenteur. Ses figures, ses triangles etc., sont traversées par des ponts, des rivières etc. Son objectif est de « coller au réel » et il y réussit très bien. Sauf que le réel du 18 ème siècle, qui mesurait la Terre avec des toises, n’est plus celui de notre siècle. Personne ne s’intéresse plus aux arpenteurs, et Dieudonné se moque… Je crois que Clairaut aujourd’hui parlerait d’internet dans son livre de géométrie :-)

    Désolé pour ma réponse un peu bavarde !

    Bien cordialement,

    Etienne Ghys

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