4 janvier 2016

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  • 4.4.9

    le 9 avril à 09:41, par Sidonie

    Un triangle ABC et sont triangle tangentiel DEF (F non représenté). (CD) et (BE) sont donc des symédianes et leur intersection L est le point de Lemoine. M est le milieu de [BC] et G est le milieu de la hauteur [AH].

    Il faut prouver l’alignement M,L et G.

    (NP) et (QR) sont des parallèles aux tangentes (EC) et (DB). Le triangle NLQ est isocèle (semblable à BCF) et $\widehat {NQR}$ = $\widehat {BAC}$.

    Les triangles CBA et CRQ sont semblables (2 angles égaux) et la similitude qui passe de CBA à CRQ se décompose en la symétrie autour de la bissectrice intérieure en C et d’une homothétie de centre C.

    Soit I le milieu de [AB] son image appartient à [RQ]. (CI) est une médiane donc son image est la symédiane.
    L est donc l’image de I et la similitude conservant les milieux L est le milieu de [RQ] .

    De la même façon L est le milieu de [NP] et NQPR est un rectangle. Soit [JK] sa médiane perpendiculaire à (BC).

    K est le milieu de [PR], M est le milieu de [BC] et (PR)//(BC) donc A,K et M sont alignés.

    L est le milieu de [JK], G est le milieu de [AH] et (JK)//(AH) donc M,L et G sont alignés.

    Document joint : fsp_4.4.9.jpg
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