18 de noviembre de 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 de noviembre de 2015 à 18:00, par Alain Juhel

    Ci-devant professeur en Spéciales MP, je ne puis qu’être d’accord pour déplorer cette disparition, tout particulièrement dans la filière la plus mathématique!
    Commençons par expliquer le mécanisme: ce n’est hélas qu’une des nombreuses absurdités de ce programme, longtemps tramé en secret et ficelé à la hâte avec une apparence démocratique de concertation dans sa dernière ligne droite.

    «ON» a voulu y introduire des probabilités, en prenant pour logique la continuité de la réforme du secondaire. Notons qu’ ON ne se demande pas si elle est bonne, ON dit: «continuons!» (Mais où est le temps où tout partait de l’école Polytechnique pour redescendre sur le lycée? Ce n’était sûrement pas bon, mais l’excès inverse ne vaut pas mieux.) Et comme la réforme précédente avait déjà chargé la barque en deuxième année, une petite lueur de raison a fait penser que, décemment, rajouter du volume, pour des élèves toujours moins formés, n’était pas une bonne idée.

    Dès lors, le plus élémentaire principe de conservation le dit: la masse entrante doit être égale à la masse sortante; il a donc fallu choisir des chapitres ou des paragraphes à fusiller. Reconnaissons qu’à chaque réforme, ce problème certes délicat s’est posé. Il s’est souvent résolu en deux étapes:
    1) Unanimité immédiate pour alléger;
    2) Chaque participant P(i) objecte: «supprimer, oui, mais surtout pas la rubrique X(i)»
    P(i) a d’ailleurs raison: X(i), c’est très important, c’est essentiel, et le supprimer, une catastrophe irrécupérable. C’est ainsi que, pendant plus de 30 ans, les allégements envisagés se sont traduits, in fine, par des surcharges.

    Mais les temps ont changé, et le consensus mou s’est érigé en principe de gouvernance. Au nom duquel il a fallu, cette fois, trouver des victimes expiatoires. Incroyablement, alors que tous les discours et les intentions générales de programme (aussi vertueuses que les préambules des constitutions des états les plus antidémocratiques) prônent le rapprochement des disciplines, ON a coupé dans tout ce qui unissait les mathématiques et la physique: la géométrie d’abord (négligeant au passage le rôle essentiel qu’elle reprend en imagerie informatique, de première importance pour nos futurs ingénieurs), l’analyse de Fourier ensuite -le comble de l’aberration. En gros, les Physiciens ont été priés «de faire leur tambouille mathématique tous seuls».
    Lorsqu’on n’arrive plus à supprimer tout un chapitre, quelques tirs isolés sur des paragraphes achèvent l’équilibre général: telle est la triste histoire du critère de Cauchy en Spéciales. Mais après tout, le Master Enseignement n’est peut-être pas tenu de l’imiter à la lettre?

    Après ce soutien sans réserve, je voudrais dire qu’à mon sens, l’exemple donné sur la série harmonique est mal choisi: c’est pour moi l’exemple où il faut se passer de Cauchy! Tu l’écris toi-même, cher Aziz, c’est une «astuce». Que peut faire un étudiant d’une astuce?
    a) désespérer -à juste titre: il ne l’aurait pas trouvée tout seul!
    b) l’apprendre par coeur pour la resservir, ce qui est tout sauf une démarche d’apprentissage fructueux des mathématiques.
    Donc, là, vive l’intégrale, qui n’a pas besoin d’être généralisée: on fait le dessin, on la prend de n à 2n, et la fonction logarithme est là pour nous tirer d’affaire.
    Idem avec la série des racines d’entiers. Une méthode et un dessin contre une astuce.
    La démonstration du théorème de convergence normale de Weierstrass peut de même se faire sans le critère de Cauchy uniforme, par majoration du reste, montrant au passage que la convergence absolue de la série est une condition nécessaire; c’est, à mon sens, de meilleure pédagogie pour un premier contact. Plus tard, il faudra se frotter aux espaces de Banach, et là, on aura recours à la puissance du critère: question de progressivité de l’enseignement.

    Car là encore, je ne crois pas que ce soit une bonne idée de rayer Banach et Hilbert des programmes. C’est, une nouvelle fois, l’analyse de Fourier qui en pâtira (le merveilleux billet aller-retour de Frédéric Riesz) alors qu’elle est devenue, pour ainsi dire, le seul passage obligé commun des chercheurs et ingénieurs, toutes disciplines confondues.

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