18 de noviembre de 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 de noviembre de 2015 à 13:14, par Aziz El Kacimi

    Cher François,

    Merci pour ton commentaire. J’avoue que je suis incapable de dire qui est l’instigateur de ce critère. Presque tout le monde l’attribue à Cauchy. Alors comment savoir si c’est effectivement lui ou quelqu’un d’autre ? Je préfère laisser de côté la question et continuer à l’appeler «Critère de Cauchy» jusqu’à nouvel ordre !

    Tu dis : Il suffit de savoir utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et sa réciproque
    partielle : une suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente.

    C’est évidemment faux en général. Soit $\ell^2$ l’espace de Hilbert (séparable) des suites
    réelles de carré sommable. Notons $\{ e_n\}_{n\in {\Bbb N}^\ast }$ sa base hilbertienne canonique et considérons la suite $(z_n)$ définie par $z_n=e_n$ si $n$ est pair et $z_n={{e_n}\over n}$ si $n$ est impair. C’est une suite bornée qui a le vecteur nul comme seule valeur d’adhérence mais qui ne converge pas ! Comme dit Jean dans son commentaire ci-dessous, c’est vrai en dimension finie (tout borné est relativement compact).

    Tu rajoutes : Ce théorème, très beau et très puissant, dispense d’introduire le concept de suite de Cauchy, d’espace complet et donc d’espaces de Banach ou de Hilbert.

    Même avec un énoncé correct, je ne vois pas comment une théorème de ce type pourrait mettre dehors les Banach,
    les Hilbert, les Fréchet... ! Il faudrait faire un tour du côté de l’analyse fonctionnelle pour bien voir que rares sont les théorèmes fondamentaux (pour l’analyse et la géométrie au sens de l’analyse globale sur les variétés) où l’hypothèse de complétude est
    absente. Pour ne citer que quelques-uns :

    — Le théorème de l’application ouverte.

    — Le théorème de Banach Steinhaus.

    — La boule unité fermée du dual d’un Banach est faiblement compacte.

    — Dans le dual d’un Banach, faiblement fermé est équivalent à fortement borné.

    — Tous les Hilbert séparables sont isométriques à $\ell^2$ (dont sort le développement en série de Fourier).

    — Le théorème de Nash-Moser sur les Fréchet.

    — ...

    Je peux bien comprendre que ce n’est pas toujours facile de faire un programme mais pourquoi évacuer systématiquement les choses importantes ? Pourquoi ne pas demander l’avis de beaucoup d’enseignants au lieu de confier la tâche à un groupe restreint ? Ceux qui sont sur le terrain sont aussi compétents, et en plus plus proches des problèmes que vivent les élèves, les étudiants... que n’importe qui d’autre ! Mais je sais que je parle dans le vide... et que je vais finir par me taire !

    Amicalement,

    Aziz

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