18 de noviembre de 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 19 de noviembre de 2015 à 13:59, par Jean

    Bonjour François,

    Réponse précompacte et incomplète....

    Bien évidemment je n’ai pas cru un instant que tu aies pu confondre compacité et complétude !

    Ce qui m’a gêné, c’est que tu as écrit quelque chose qui puisse engendrer cette confusion : plus besoin de Banach, on s’en tirera en forçant à converger les suites bornées qui n’ont qu’une valeur d’adhérence et qui, pourtant, se refusent souvent à converger !

    J’ai l’habitude d’insister devant mes étudiants de l’aspect «novateur» de l’analyse fonctionnelle, où l’on oublie (partiellement) qu’une fonction est une correspondance pour la considérer comme un point dans un espace où on mesurera des distances, fera de la géométrie (regrettées séries de Fourier, mais c’est un autre débat...), approchera etc...

    Bien sûr, dans ce contexte, on pourra probablement souvent composer les opérateurs avec une évaluation, se ramener à des opérateurs réels ou complexes, sortir son BW, raccorder les nombreux morceaux et revenir à l’origine du problème.... Mais on perd un peu l’aspect que j’évoque plus haut sur l’analyse fonctionnelle, et c’est, à mon sens, regrettable.

    J’ai récemment donné un problème pour montrer qu’une application de R2 dans R2 était bijective et bicontinue et approcher sa réciproque, en utilisant le théorème du point fixe. N’ayant pas encore traité les séries absolument convergentes (bon, OK, c’est connu dans R, alors R2.... mais à quoi sert-il de parler d’espace vectoriel si c’est pour toujours revenir dans R ?) je l’ai posé à grands coups de BW, ce qui m’a un peu gêné. J’ai surtout été gêné de ne pouvoir élargir rapidement à des espaces de fonctions.

    \beginprovoc
    Ne pas parler de complétude dans ce cas, c’est un peu comme de ne pas parler de séries puisqu’étudier une série, c’est étudier la suite des sommes partielles (ce que j’ai fait dans mon devoir....) ! Et puis, tant qu’on y est, puisqu’on peut toujours arriver à des suites réelles, pourquoi ne pas se limiter aux suites réelles monotones, puisqu’on peut toujours s’y ramener par l’intermédiaire de la limite sup. Même plus besoin de BW !
    \endprovoc

    Bien cordialement

    Jean Voedts

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