18 de noviembre de 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 1ro de diciembre de 2015 à 09:12, par Aziz El Kacimi

    Bonjour,

    Il me semble que pour établir l’inégalité $S_n=1+{1\over 2}+\cdots +{1\over {2^n}}\geq {n\over 2}$, on utilise le fait que, pour tout $k\geq 1$, la quantité $Q_k={1\over {2^{k-1}+1}}+\cdots +{1\over {2^k}}$ est minorée par ${1\over 2}$. Mais si on a ça, Cauchy dit tout de suite que la série diverge ! Pourquoi revenir à la somme $S_n$ alors qu’on a déjà ce qu’on cherche ?

    Apparemment, on peut s’y prendre de différentes manières pour montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty {1\over n}$ diverge mais on passe presque toujours par la minoration de blocs du type ${1\over p}+\cdots +{1\over {p+s}}$, donc par une variante de Cauchy !

    L’exemple de la série harmonique, sur lequel certains commentateurs se sont focalisés, n’était qu’un prétexte pour lancer le débat autour de la (vraie) question : Le critère de Cauchy est-il désuet ? (Les auteurs de ce programme ont-ils raison de le supprimer ?) Il faut être totalement ignorant de l’analyse pour répondre OUI. On nous a toujours répété aux bancs des amphis : Dans un espace complet, et en l’occurrence ${\Bbb R}$, le critère de Cauchy permet de montrer qu’une suite converge sans en connaître forcément la limite. D’accord, c’était en mon temps ! mais je ne crois pas qu’il y ait eu jusqu’à présent un super matheux qui ait pu changer quoi que ce soit à cela !

    Pour enseigner à un niveau, même élémentaire, moi je dirais qu’il est nécessaire de connaître plus ! On voit mieux quand on est en hauteur. La transmission du savoir à travers une leçon (un cours ou un TD) est beaucoup plus facile quand le maître domine ce qu’il doit communiquer. Et comme disait Gustave Flaubert «Si vous saviez précisément ce que vous voulez dire, vous le diriez bien !» Une belle maxime pour illustrer cette évidence : pour enseigner bien, il faut bien connaître ce que l’on enseigne.

    Cordialement,

    Aziz El Kacimi

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