18 novembre 2015

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  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 18 novembre 2015 à 18:57, par François Sauvageot

    Cher Aziz,

    voici un point de vue de professeur n’ayant pas participé à la conception des programmes mais les utilisant.

    Tout d’abord j’aimerais rappeler que le critère de Cauchy est une idée de José Anastacio da Cunha, que Cauchy s’est appropriée, comme un certain nombre d’autres idées ... mais c’est sans doute un autre débat.

    La démonstration de Nicole d’Oresme est bien antérieure à Cauchy et à son critère. Elle se fonde sur le théorème de convergence monotone. Rien à voir avec Cauchy, et pas besoin de faire une comparaison avec une intégrale (même si c’est un bon point de départ pour expliquer cet outil) : il suffit de minorer les sommes partielles.

    On n’a en général jamais besoin du critère de Cauchy, ni des suites de Cauchy, même si c’est un bel outil de pensée (et c’est agréable pour prolonger les applications uniformément continues). Il suffit de savoir utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass et sa réciproque partielle : une suite bornée ayant une unique valeur d’adhérence est convergente. Ce théorème, très beau et très puissant, dispense d’introduire le concept de suite de Cauchy, d’espace complet et donc d’espaces de Banach ou de Hilbert.

    Personnellement si je trouve une utilité aux suites de Cauchy, c’est pour répondre à la question : qu’est-ce qu’un nombre ?
    J’en parle donc en cours. Mais tu conviendras que ça dépasse largement le cadre de la complétude.

    Je montre que la meilleure façon d’utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass est de considérer $|u_n-u_m|$ pour $n$ et $m$ quelconques et de tenter de majorer cet écart. C’est suffisant. Avec plus d’heure, on pourrait développer plus, c’est certain.

    Si je suis gêné par des éléments de programme manquants, j’en parle, et je rappelle que c’est hors-programme. J’aimerais bien disposer de limites supérieure et inférieure ... un truc plus utile (nettement !) que les suites de Cauchy. D’une façon générale, les valeurs d’adhérence sont peu travaillées. Et, quant à ces limites supérieure et inférieure, elles servent pour étudier les séries entières, mais aussi très souvent en probabilités.

    Autre point gênant : la disparition des séries de Fourier alors même que la physique introduit la mécanique quantique. Tout à fait incohérent, c’est sûr. Maintenant que fait-on en un nombre d’heures données ?
    Pourquoi un programme figé et non tournant ? Pourquoi un programme ?

    François.

    P.S. : Note que faire un programme est difficile ! Chacun(e) a probablement sa vision du problème et j’estime qu’il est de mon devoir d’user de ma liberté pédagogique pour adapter ce programme à ma façon de faire des maths et de les partager.
    Par ailleurs ce qu’en pensent ou en font les étudiant(e)s ou les examinateur(trice)s de concours est parfois très différent de ce qu’on peut imaginer à la lecture du programme.
    A quoi ça sert un programme ? et de sélectionner par les maths ? et de former par les maths ? Et après le « à quoi ça sert ? » vient le « comment ? ».
    Ce que je peux dire c’est que dans ma classe ... on fait des maths !

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