18 novembre 2015

28 messages - Retourner à l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Il n’y a plus de place pour Cauchy !

    le 1er décembre 2015 à 09:12, par Aziz El Kacimi

    Bonjour,

    Il me semble que pour établir l’inégalité $S_n=1+{1\over 2}+\cdots +{1\over {2^n}}\geq {n\over 2}$, on utilise le fait que, pour tout $k\geq 1$, la quantité $Q_k={1\over {2^{k-1}+1}}+\cdots +{1\over {2^k}}$ est minorée par ${1\over 2}$. Mais si on a ça, Cauchy dit tout de suite que la série diverge ! Pourquoi revenir à la somme $S_n$ alors qu’on a déjà ce qu’on cherche ?

    Apparemment, on peut s’y prendre de différentes manières pour montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty {1\over n}$ diverge mais on passe presque toujours par la minoration de blocs du type ${1\over p}+\cdots +{1\over {p+s}}$, donc par une variante de Cauchy !

    L’exemple de la série harmonique, sur lequel certains commentateurs se sont focalisés, n’était qu’un prétexte pour lancer le débat autour de la (vraie) question : Le critère de Cauchy est-il désuet ? (Les auteurs de ce programme ont-ils raison de le supprimer ?) Il faut être totalement ignorant de l’analyse pour répondre OUI. On nous a toujours répété aux bancs des amphis : Dans un espace complet, et en l’occurrence ${\Bbb R}$, le critère de Cauchy permet de montrer qu’une suite converge sans en connaître forcément la limite. D’accord, c’était en mon temps ! mais je ne crois pas qu’il y ait eu jusqu’à présent un super matheux qui ait pu changer quoi que ce soit à cela !

    Pour enseigner à un niveau, même élémentaire, moi je dirais qu’il est nécessaire de connaître plus ! On voit mieux quand on est en hauteur. La transmission du savoir à travers une leçon (un cours ou un TD) est beaucoup plus facile quand le maître domine ce qu’il doit communiquer. Et comme disait Gustave Flaubert « Si vous saviez précisément ce que vous voulez dire, vous le diriez bien ! » Une belle maxime pour illustrer cette évidence : pour enseigner bien, il faut bien connaître ce que l’on enseigne.

    Cordialement,

    Aziz El Kacimi

    Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.