19 janvier 2016

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  • Une petite précision

    le 16 mars 2016 à 18:49, par Patatra

    Bonjour,
    Dès le début de la lecture de cet article, une phrase m’a interpellé : « Deux droites se coupent presque sûrement ». Je suppose que cela signifie que, en prenant 2 droites au hasard, la probabilité qu’elles aient un point d’intersection est de 1. Je ne vois pas comment le démontrer.. Serait-il possible d’avoir une indication ici bien que cela ne soit pas réellement le fond de l’article ?
    Cordialement.

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    • Réponse à « Une petite précision »

      le 17 mars 2016 à 20:48, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      On note ${\Bbb E}$ le plan euclidien muni d’un repère orthonormé $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)$. Une droite affine $d$ dans ${\Bbb E}$ est définie par un point $A$ et un vecteur $\overrightarrow u$ de norme $1$ qui donne sa direction. Le vecteur $\overrightarrow u$ est déterminé de manière unique par l’angle $\theta \in [0,\pi [$ qu’il fait avec le vecteur $\overrightarrow i$. Deux droites $d=(A,\theta )$ et $d'=(A',\theta')$ non confondues se coupent si, et seulement si $\theta \neq \theta'$. Notons ${\cal D}$ l’ensemble des couples $(d,d')$ de droites non confondues de ${\Bbb E}$ ; on a une application naturelle $\Theta :(d,d')\in {\cal D}\longmapsto (\theta ,\theta')\in [0,\pi [\times [0,\pi [=\Omega $. Sur $\Omega $ on met la probabilité $\mu ={\lambda \over {\pi^2}}$ où $\lambda $ est la mesure de Lebesgue sur $\Omega $. La diagonale $\Delta =\{ (\theta ,\theta ):\theta \in [0,\pi [\} $ de $\Omega $ est de mesure nulle et son complémentaire est précisément l’ensemble des couples $(d,d')$ de droites $d$ et $d'$ qui se coupent en un point, il a donc une probabilité égale à $1$.

      J’espère avoir répondu à votre question !

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

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      • Réponse à « Une petite précision »

        le 20 mars 2016 à 16:30, par Patatra

        Merci pour votre réponse qui m’a bien aidé.
        Cordialement.

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  • Quelques mots sur les figures sans paroles… I

    le 17 mai 2018 à 10:40, par Hébu

    Bonjour !

    Cet article est effectivement le bienvenu. Je suis un lecteur récent de ce blog, que je découvre petit à petit. Et comme je ne suis qu’un géomètre amateur, vivant sur ses souvenirs de collège, je ne connaissais évidemment pas Céva et son théorème.

    Je l’ai découvert en tâtonnant sur les figures sans paroles, et l’article met les choses bien au propre.

    J’ai cependant une interrogation, non sur cet article ni sur Céva, mais sur les « figures sans parole ». Je les imaginais comme une espèce de recueil d’exercices, illustrant un cours de géométrie classique, qui introduit progressivement les différentes notions. Et le théorème de Céva me semble ne pas devoir figurer dans les premiers éléments. On le voit explicité dans la figure 4.9.15 — et il semble devoir être mis en oeuvre pour la plupart des figures du 4.9.

    Mais alors, pourquoi les points de Gergonne (qui découlent de suite de Céva) en 2.4 ?

    En fait, ce message prouve que je n’ai sûrement rien compris aux desseins d’Arseniy Akopyan ...

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