29 avril 2016

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  • Avril 2016, 5e défi

    le 29 avril 2016 à 06:20, par Elrigo

    En développant 3^n = (4-1)^n avec la formule du binôme de Newton, on détermine la réponse.

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    • Avril 2016, 5e défi

      le 29 avril 2016 à 08:41, par Al_louarn

      Très élégant j’aime bien :-)

      On peut aussi procéder par récurrence :
      Posons $u(n)=3^n-2n-1$
      Alors $u(n+1)=3\times3^n-2(n+1)-1$
      $u(n+1)=2\times 3^n -4n +4n + 3^n -2n-2-1$
      $u(n+1)=2(3^n -2n -1) +4n + 3^n -2n-1$
      $u(n+1)=3u(n)+4n$.
      Donc si $u(n)$ est multiple de $4$ alors $u(n+1)$ l’est aussi.
      Et comme $u(0)=0$ est multiple de $4$ on en déduit que $u(n)$ l’est pour tout entier $n$.

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    • Avril 2016, 5e défi

      le 29 avril 2016 à 09:38, par Daniate

      Aussi astucieux que matinal !

      La factorisation de 3^n-1, par exemple en utilisant la formule de la somme d’ une suite géométrique, permet également de conclure.

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  • Avril 2016, 5e défi

    le 1er mai 2016 à 17:52, par Celem Mene

    Pour tous les n entiers positifs, le nombre 3^n - 2n - 1 est divisible par 4.

    En effet, 3^n mod 4 égale 1 pour les n pairs et 3 pour les n impairs.

    Lorsque, pour le n pairs, on multiplie n par 2 (2n), on ajoute un multiple de 4 sans effets sur le résultat. Ne reste plus qu’à soustraire 1 du reste identique.

    Soit pour n pair (2p) :
    3^2p mod 4 = 1
    (1 - 2(2p) - 1) mod 4 = 0

    Pour les n impairs, la soustraction de 1 laisse un résultat de 2, auquel on va soustraire un nombre pair (2n = 2p). Or, tout nombre impair multiplié par deux, laisse un modulo 4 de 2. Que l’on va soustraire de 2.

    Soit pour n impair (2p - 1) :
    3^(2p-1) mod 4 = 3
    (3 - 2(2p-1) - 1) mod 4 = 0

    Je ne suis pas mathématicien, pardonnez donc s.v.p. les inexactitudes presque certaines.

    Meilleures salutations.

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