15 juillet 2016

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  • Juillet 2016, 3e défi

    le 15 juillet 2016 à 08:25, par Bernard Hanquez

    1,5 cm ?

    Pourquoi ?

    Le triangle est rectangle car 3^2+4^2=5^2
    Sa surface est donc (3x4)/2
    Appelons R le rayon du demi cercle.
    Traçons le segment qui joint le centre du demi cercle au sommet situé en haut à gauche.
    Ce segment divise le triangle en deux triangles plus petits.
    Les surfaces de ces deux triangles sont (3xR)/2 et (5xR)/2

    Donc (3x4)/2 = (3xR)/2 + (5xR)/2
    et en simplifiant 8xR= 12 et R = 1,5 cm

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    • Juillet 2016, 3e défi

      le 15 juillet 2016 à 10:27, par Daniate

      Bonjour,

      En fait vous redémontrez une propriété de la bissectrice dans un triangle quelconque. Son pied partage le coté opposé dans le même rapport que les côtés correspondants.
      On obtient alors l’équation R/3=(4-R)/5 qui redonne bien 1,5 cm

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      • Juillet 2016, 3e défi

        le 15 juillet 2016 à 11:28, par Bernard Hanquez

        Bonjour,

        Merci de votre commentaire.
        En fait je ma suis inspiré de la formule qui donne de rayon du cercle inscrit d’un triangle quelconque connaissant ses trois côtés.

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        • Juillet 2016, 3e défi

          le 15 juillet 2016 à 20:18, par Daniate

          Bonsoir, il suffit de compléter la figure par symétrie horizontale pour que le demi-cercle devienne cercle inscrit dans un triangle 5,5,6 et votre formule fera le reste. Si on aime se compliquer la vie on peut aussi utiliser la formule tan(2x)=2tan(x)/(1-tan²(x)) appliquée à l’angle supérieur et sa bissectrice. Je suppose qu’il existe d’autres démonstrations donc le défi reste grand ouvert.

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    • Juillet 2016, 3e défi

      le 15 juillet 2016 à 15:00, par orion8

      Bonjour. On peut aussi calculer de deux manières l’aire du triangle de droite :
      $ \dfrac{5R}{2} = \dfrac{3(4-R)}{2} $

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  • Juillet 2016, 3e défi

    le 15 juillet 2016 à 09:31, par orion8

    Joignons le « centre » du demi-cercle de rayon $ R $ avec le point de tangence.
    On obtient deux triangles rectangles ayant un angle aigu en commun. Ce qui donne :
    $ \dfrac{R}{4-R}=\dfrac{3}{5} $
    soit $ R=\dfrac{3}{2} $

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  • Juillet 2016, 3e défi

    le 17 juillet 2016 à 03:08, par Saïd Benhamad

    Le point de tangence avec l’hypoténuse la partage en 3 et 2.
    Soit x l’angle compris entre 4 et 5 ; R le rayon du cercle.
    tan x = R/2 = 3/4 donc R = 3/2 cm

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