2 septembre 2016

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  • Septembre 2016, 1er défi

    le 2 septembre 2016 à 06:54, par Al_louarn

    Il n’y a que 2 solutions : $3$ et $7$.

    Si $n$ est pair alors $n^2 - 12n + 46$ est pair et donc égal à $2$ (seul premier pair), ce qui se ramène à $n(12-n)=44$. Donc $n$ est un diviseur de $44=2 \times 2 \times 11$ et $n<12$ mais ni $1$, ni $2$, ni $4$, ni $11$ ne convient.

    Si $n$ est impair alors $n^2 - 10n + 23$ est pair et donc égal à $2$, ce qui se ramène à $n(10-n)=21=3 \times 7$, donc $n=3$ ou $n=7$.
    Pour $n=3$ les $3$ formules donnent respectivement $2$, $13$, $19$ qui sont bien tous premiers.
    Pour $n=7$ les $3$ formules donnent respectivement $2$, $17$, $11$, qui sont bien tous premiers.

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    • Septembre 2016, 1er défi

      le 2 septembre 2016 à 09:47, par B !gre

      Je ne sais pas si on considère les nombres négatifs comme pouvant être premiers dans cet énoncé. Si c’est le cas, on trouve une solution de plus (5).

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    • Septembre 2016, 1er défi

      le 2 septembre 2016 à 16:26, par ruello

      autre proposition :
      A l’aide d’un tableur, on peut remarquer que les entiers 3, 5, 7 conviennent. ( en considérant que -2 est premier pour n = 5)
      n² -12n + 46 = ( n -6) ² + 10 , donc n doit impair sinon n² -12n + 46 est pair et strictement supérieur à 2.

      Si n est impair alors n² -10 n + 23 est pair, de plus, n² -10 n + 23 = ( n -5) ² -2,
      on en déduit que si n > 7 alors n² -10n +23 > 2.
      Dès que n est impair et strictement supérieur à 7, n² -10 n + 23 n’est pas premier.

      Par conséquent seuls les entiers 3, (5) , 7 répondent au problème.

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      • Septembre 2016, 1er défi

        le 5 septembre 2016 à 17:48, par Daniate

        Bonjour,

        Pour faire entrer les négatifs dans la famille des nombres premier il faudrait en changer la définition en : n est premier s’il a exactement 4 diviseurs, mais pourquoi pas ?

        Pour ma part j’ai raisonné sur la différence entre la 3ème et la première : -2n+23 est évidement impaire ce qui impose que l’un des deux est 2 ( ou -2) . On obtient deux équations du second degré mais la 3ème ne donne aucune solution réelles dans les deux cas , la première donne 3 et 7 comme solutions avec 2 et donne 5 avec -2. Il reste à vérifier que les autres expressions donnent bien des nombres premiers.

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