24 septembre 2016

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  • Proposition pour 8 cartes

    le 26 septembre 2016 à 12:46, par Emmanuel Jacob

    Ce lemme des mariages est beau mais pas très constructif... en particulier pour 2 complices qui cherchent un codage/décodage facile à mettre en place ! Voici ma proposition pour 8 cartes... qui n’est pas si simple. Je suis curieux de voir s’il y a plus élégant !

    Je désigne les 8 cartes par : $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$, $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ (pour roi de pique, cœur, trèfle, carreau, dame de pique, cœur, trèfle, carreau).

    Il est plus facile de décrire d’abord comment Baptiste peut trouver la carte mystère (le décodage).

    Le décodage

    Si la 1ère carte indiquée par Arthur est la carte $R_i$, alors Baptiste sait que la carte codée est l’une des 3 cartes $\{R_{i+1}, R_{i+2}, D_i\}$ (on utilise l’ordre cyclique, ainsi $R_5=R_1$ par exemple, et $R_{i+1}, R_{i+2}$ et $D_i$ désignent bien des cartes de notre ensemble de 8 cartes). Plus précisément :

    $\bullet$ Si Arthur lui a indiqué $(R_i, R_{i+1})$ ou $(R_i, D_{i+1})$, alors Baptiste répond $R_{i+2}$.
    $\bullet$ Si Arthur lui a indiqué $(R_i, R_j)$ avec j différent de $i+1$, alors Baptiste répond $D_i$.
    $\bullet$ Si Arthur lui a indiqué $(R_i, D_j)$ avec j différent de $i+1$, alors Baptiste répond $R_{i+1}$

    Enfin, si la première carte est une dame, on inverse simplement le rôle des rois et des dames.

    Maintenant, voici comment Arthur peut coder la carte mystère. Ce codage est un petit peu plus compliqué à décrire, mais correspond exactement à la procédure de décodage : pour chaque choix de 3 cartes, Arthur n’a qu’une seule manière de choisir son couple de 2 cartes tel que l’algorithme de décodage donne effectivement la 3e carte....

    Le codage

    Si les 3 cartes sont 3 rois ou bien 2 rois et une dame, alors Arthur indiquera un roi en première carte. Nous nous plaçons maintenant dans ce cas pour fixer les idées (sinon, on inverse le rôle des rois et des dames).
    $\bullet$ Si les 3 cartes sont 3 rois, il y en a forcément 3 qui se suivent dans l’ordre cyclique. Pour l’ensemble $\{R_i, R_{i+1}, R_{i+2}\}$, Arthur choisit alors $(R_i, R_{i+1})$.
    $\bullet$ Dans les autres cas, il y a une dame $D_i$ et deux rois. On considère les sous-cas suivants :
    1. $\{D_i, R_{i}, R_{i-1}\}$ ou $\{D_i, R_{i}, R_{i+2}\}$. Arthur choisit $(R_i, R_{i-1})$ ou $(R_i, R_{i+2})$, respectivement.
    2. $\{D_i, R_{i-1}, R_{i+1}\}$. Alors Arthur choisit $(R_{i-1}, D_i)$.
    3. $\{D_i, R_j, R_{j+1}\}$ avec $j\neq i-1$. Alors Arthur choisit $(R_j, D_i)$.

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