On peut du coup se poser tout simplement la question de la pertinence d’apprendre en petites classes des signes de division inusités par la suite...

SInon, j’ai eu deux doutes orthographiques :
« comment se fait-il que l’on voit » -> « comment se fait-il que l’on voie » ?
« médaillers » -> « médaillés » ?

Je suis tout à fait d’accord avec le dernier point de donner à comprendre le calcul dans les anneaux et corps. Il faut par exemple que les élèves ne voit plus le signe ’-’ comme une opération mais comme la marque d’un nombre relatif. Cela simplifie grandement les calculs car on passe d’une opération, la soustraction, non associative et non commutative à un opération l’addition, associative et commutative. On simplifie les règles et on perd des règles inutiles. On simplifie aussi les relations à connaître. Ainsi il n’y a pas trois identités remarquables mais deux. Les relations (a+b)^2=... et (a-b)^2=... se résume à (a+b)^2=... lorsque ’a’ et ’b’ sont des relatifs et non pas des entiers naturels.

Quant à la calculatrice, le problème est technique. L’écriture de relations mathématiques demande plusieurs lignes pour les fractions alors qu’aujourd’hui les calculatrices ne permettent que d’utiliser une ligne de calcul. Il y a donc de fait deux systèmes de convention, un qui requiert moins de parenthèse et est plus élégant, et un autre que comprennent les calculatrices. Il faut apprendre aux élèves à convertir un calcul écrit sur plusieurs lignes dans un calcul écrit sur une ligne. L’exercice de remettre les parenthèses cachées est donc très utile pour cela. Il faut évidemment la suppression de l’ancien signe de la division remplacé par la barre de fraction. Je ne comprend pas que l’on utilise encore ce signe. Avec l’avancé de la technologie, je prévois que nos calculatrices pourront écrire sur plusieurs lignes et alors il n’y aura plus deux systèmes de conventions mais un seul. Je suis peut être trop optimiste sur ce dernier point.

Bonjour.

Comme vous l’avez indiqué, a - c + d - e - f s’interprète comme a + (-c) + d + (-e) + (-f) dès lors on fait les calculs comme l’on veut et on vérifie que la convention usuelle est en fait une façon « légale » d’effectuer les calculs.

De même, une division est en fait une multiplication par un inverse. Et là on voit le lien direct avec l’addition et la soustraction.

Dans les deux cas, on a une convention applicable dans tout groupe donc cela justifie pleinement la convention de gauche à droite pour les multiplications et les divisions.

Il est vrai que l’utilisation de : pour les élèves n’est pas terrible car souvent il associe ce symbole à l’algorithme de calcul approché d’une division. Ceci justifie au passage l’usage de cet opérateur en école primaire. On pourrait sinon opter pour des écritures à la sauce anglo-saxonne mais ceci serait une révolution culturelle majeure bien que pratique.

De plus, au lycée je n’utilise le symbole : que dans des cas comme x = a/b et y = c/d (deux fractions) pour obtenir x / y = a/b : c/d = a/b * d/c car ici l’usage d’un grand trait de fraction est juste source d’erreur (les élèves finissant pas tracer des traits de fractions tous de même longeuur on tombe sur quelque chose ne signifiant plus rien).

En tant qu’enseignant je ne rencontre jamais de calculs comme ceux que vous indiquez ! Je n’aborde jamais ce genre de calcul car c’est inutile ! Je passe toujours par des fractions (sauf dans le cas particulier que j’ai indiqué).

Ensuite, concernant 48/2*(9+3), WolframAlpha renvoie 48/2*(9+3) tandis que SageCell n’accepte pas l’écriture ce qui est à mon avis la meilleure chose à faire.

Dans le même ordre d’idée on utilise souvent à tors cos 2x pour abréviation de cos(2x). Inacceptable !

Plus gênant, beaucoup de logiciels de calculs acceptent des choses comme 2^3^4. Certains vont de gauche à droite et d’autre de droite à gauche comme le feraient la plus part des humains. Là aussi des parenthèses s’imposent !

Enfin concernant l’exercice sur la limite, vous utilisez une autre convention très mauvaise consistant à ne pas mettre de parenthèses. En effet, que signifie lim sin x / (2x) ? Est-ce (lim sin x) / (2x) = (lim sin t) / (2x) ou bien lim (sin x / (2x)) ? Je rappelle que dans lim sin x la variable x est muette.

En résumé, comme disent les programmeurs Python, dont je suis, « explicite est mieux qu’implicite ». Pour les opérations de base, utiliser des règles est juste un choix d’efficacité mais pour le reste, à l’usage, mettre des parethèses explicites ne fait perdre que peu de temps !

J’ai un peu de mal à comprendre le débat...
S’agit-il de cette convention : « si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors on effectue les opérations de gauche à droite » ?
N’est-ce pas une convention sortie de son contexte ?
Je suis gros consommateur de calculs du type : 1,25/(2,7*10^2), égal à 5% près à 4,62*10^(-3).
Et mes élèves frappent trop souvent 1,25/2,7*10^2, égal à 5% près à 46,2, et je suis obligé de leur dire que la calculatrice effectuant les opérations de gauche à droite, il faut écrire les parenthèses dans le cahier puis les frapper sur la calculatrice.
Le contexte de cette convention ne serait-il pas : «  attention, si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors la calculatrice effectue les opérations de gauche à droite ».
En gros, les calculatrices suivent cette convention et je me bagarre pour faire écrire les parenthèses.
Ai-je compris le débat ?

Bonjour. Je ne reviendrai pas sur la nécessité de lever l’ambiguïté en situation de communication (dans l’enseignement comme en recherche). Mais dans un contexte d’écriture personnelle avec un bloc note informatique (donc avec une écriture en ligne), je fais la distinction entre la multiplication avec croix et la multiplication par accolement. Par exemple, j’interprète 1/2a comme 1/(2×a) mais je lis 1/2×a comme (1/2)×a.
Accessoirement, je m’interroge sur l’usage du point médian comme opérateur de la multiplication. Je ne l’ai jamais vu employé comme tel en écriture à la main. Pourquoi l’utiliser en remplacement de la croix de multiplication ?

Aux calculatrices on peut ajouter les langages de programmation.
Par exemple sur http://en.cppreference.com/w/c/language/operator_precedence je lis qu’en langage C les opérateurs * et / on la même précédence et une « associativité » left-to-right.
Si je comprend bien, c’est la même convention que celle débattue ici.
Je viens de tester avec Python 2.7 : la ligne 4 / 2 / 2 renvoie 1.

Bonjour
M. Aebi, est-ce que vous ne faites pas de parallèle entre 20 - 10 - 2 et 20 div 10 div 2, en dehors de tout parenthésage et de toute considération typographique ou électronique ?

Bonjour,
Je me demande si l’ambiguïté du calcul ne vient pas de ce que le trait de division est penché au lieu d’être horizontal ?
Si le trait de fraction est horizontal ,on pourra faire la différence entre

48/2×(9+3) et 48/(2×(9+3)) (je ne suis pas parvenu à écrire le calcul avec un trait de fraction horizontal...)
Si le trait de fraction est penché ,en effet il faut rajouter des parenthèses pour éviter toute ambiguïté.
Cordialement.
Didier Roche.

Votre avis est très clair :

Il me semble donc parfaitement inutile de leur fournir une règle supplémentaire à la fois superflue et bancale.

Votre question l’est tout autant :

Ou au contraire, estimez-vous que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ?

Et finalement, j’ai compris le débat dont la réponse me semble devoir être : attention, compte-tenu des choix de programmation des calculatrices 4 opérations (qui n’ont aucune raison d’être au beau sens du mot raison), si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et que vous n’écrivez aucune parenthèse alors la calculatrice effectue les opérations de gauche à droite .

Voilà un énoncé possible de la convention (nécessaire vis à vis des calculatrices, je le répète).

Les choix de programmation des calculatrices posent régulièrement des problèmes et, parmi toutes les propositions d’action que vous suggérez, je vous propose de prendre n’importe laquelle dès l’instant où vos interlocuteurs seront les fabricants de calculatrices.

Parmi les problèmes assez récents, je rencontre des calculatrices qui possèdent désormais le signe moins d’opération et le signe (moins) de signe sur deux touches différentes : les appels pour erreur de syntaxe de la part des élèves sont nombreux.

D’une manière plus générale, les mathématicien-ne-s devraient organiser une veille techno-pédagogique sur les outils informatiques utilisés par les élèves : je fais remonter en mémoire que, par exemple, un tableur célèbre attribue la valeur zéro à une case vide (dans laquelle aucune valeur n’a été frappée) plutôt que de signaler comme erreur de syntaxe qu’aucune valeur n’a été frappée dans la case pourtant utilisée ailleurs afin de faire un calcul...

En réalité, je trouve que le problème vient d’une écriture qui n’a pas lieu d’être...
Lorsqu’une expression ne contient que des nombres, il n’y a pas lieu de ne pas écrire le signe de la multiplication.
Personne ne remplacerait 2 * 3 par 2.3 (ni même par 23 !).
De la même manière, je ne me vois pas écrire 2 * (9 + 3) autrement que ce que je vient d’écrire même si je comprendrais aisément l’écriture 2(9 + 3) ou 2.(9 + 3). Ces écritures ont tout leur sens dans des expressions algébriques ou, au contraire, je n’écrirai pas 2 * ( x + 3) mais plutôt 2(x + 3).
Aussi, avec l’écriture de tous les symboles utiles, l’expression 48 / 2 * (9 + 3) ne me semble plus laisser de doute quand à son résultat.
De même qu’en algèbre l’écriture a/b(c + d) n’aura jamais la valeur de a/[b(c + d)].
*
Auriez-vous d’ailleurs interprété de la même manière les expressions ci-dessous ?
48/2(9+3)
48/(9+3)2
48/2(x+3)
48/(x+3)2
Pour moi, les deux premières n’ont pas de sens du fait de l’absence (injustifiée à mes yeux du signe de la multiplication) alors que la troisième signifie clairement à mes yeux (48/2)(x+3) et je pense qu’il en est de même pour tout le monde. Je ne vois pas ce qui permettrait de l’interpréter comme 48/[2(x+3)]. D’ailleurs pour moi, la quatrième n’a pas de sens n’ont plus mais si je rétablissait le signe de multiplication manquant, je pense que personne ne l’interpréterait comme la troisième mais que tout le monde s’accorderait à lui donner le sens de [48 / (9 + 3)] * 2. Pourquoi alors une telle différence de traitement ?
*
Ce qui à mon sens démontre bien que tout le monde use de la priorité du sens de lecture quand il s’agit d’opération de même niveau de priorité.
*
Je pense que l’ambiguïté vient d’écritures, données en exemple plus haut, et que beaucoup semblent accepter comme telles :
1/2x pour 1/(2x) (car sinon nous aurions écrit x/2 ou ½x)
cos 2x pour cos (2x) (car sinon nous aurions écrit x.cos 2 ou (cos 2).x explicitement)
Ces écritures sont tout de même souvent utilisées par tous et acceptées sans ambiguïtés car elles permettent d’éviter la lourdeur des parenthèses dans des calculs écrits en ligne mais il est clair que l’écriture des mathématiques n’est pas faite pour se faire sur une ligne et qu’alors l’ambiguïté est levée par d’autre stratagèmes comme les traits de fraction ou la barre de la racine.
*
Imaginons aussi le problème dans l’autre sens.
Comment écririons-nous l’expression sur une seule ligne qui correspondrait au produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3 ? Et celle qui correspondrait au quotient de 48 par le produit de 2 par la somme 9 et de 3 ?
Pour ma part, la réponse à la première expression est : 48 / 2 * (9 + 3).
Et la réponse à la seconde : 48 / [2 * (9 + 3)].
Si j’acceptais que ma première expression exprime le deuxième calcul alors comment pourrais-je écrire une expression qui exprime mon premier calcul ?
Sauf à utiliser des propriétés des opérations ce qui à mon sens n’a pas lieu d’être ici car si je demande à un élève d’écrire le produit de 5 par 3, je n’attends pas qu’il m’écrive le produit de 3 par 5 même si, mathématiquement, les produits sont égaux.
*
Un autre biais, me semble-t-il, qui donne son ambiguïté au calcul proposé, vient du fait qu’avec l’habitude, nous prenons le soin de clarifier ce genre d’expression par sa présentation après l’avoir travaillée afin de lui donner un aspect plus explicite.
Si je dois écrire en ligne une expression égale produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3, je pense que j’écrirai plutôt 48(9+3)/2 car nous savons tous que dans ce genre d’expression, il vaut mieux « effectuer » le produit avant de diviser afin d’avoir plus de chance d’obtenir un résultats exact.
*
Pour information, je viens de vérifier, avec la calculatrice que la majorité de mes élèves de collège utilisent que selon le calcul entré dans la machine, le résultat donné n’est pas le même !!!!!!
48 : 2(9 + 3) = 2 mais 48 : (9 + 3)2 -> syntax error et 48 : 2 * (9 + 3) = 288 = 48 : (9 + 3) * 2 !!!!!!
N’y aurait-il pas, là, matière à créer une nouvelle convention ?

Bonjour

J’ai fait en cinquième pendant une trentaine d’années (1980-2010) un cours sur la priorité des opérations dans lequel je donnais diverses règles de calcul parmi lesquelles :

« Si, en l’absence de parenthèses, une suite de calculs en ligne ne comporte que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions), on effectue les calculs de la gauche vers la droite (c’est-à-dire dans le sens de la lecture). »

Il semblerait donc, puisque je pense avoir eu raison d’enseigner cette règle, que je suis censé « estimer que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ».

Or si je pense que la « logique des calculatrices a sa raison d’être » – ce qui est difficilement niable –, j’ai une position plus que réservée sur le caractère supposé toujours positif de l’introduction systématique des calculettes en primaire et au début du collège [Note 1] et, surtout, je n’en déduis pas que c’est la « logique des calculatrices » qui doit, de manière plus ou moins explicite, guider la conception de l’enseignement du calcul à tous les niveaux de l’enseignement (et surtout en primaire).

Je justifie donc l’enseignement « de la nouvelle convention [Note 2] » – au moins pour la période pendant laquelle je l’ai faite et « pour les élèves que j’avais » – tout en refusant d’avoir une position de soutien à l’utilisation systématique des calculettes.

Cette position peut sembler illogique si l’on se place dans la problématique utilisée dans le dernier article du Débat du 18. Mais il me semble que c’est la problématique même de l’article qui est en cause pour une raison qui est assez courante : la question est mal posée car

1) elle oublie une question fondamentale que l’on doit toujours se poser lorsque l’on cherche à savoir si une question doit être enseignée (bien que effectivement on la pose de moins en moins) : quelle est la place de cette question dans que l’on appelait le « plan d’études » c’est-à-dire sa place dans la structure du programme et dans la progression choisie ?

2) elle confond notamment par ce biais deux choses

• la nécessité d’enseigner cette convention dans les progressions actuelles qui sont à mon sens de vraies catastrophes [Note 3] ; il s’agit donc de l’enseigner « comme un moindre mal »
• la nécessité d’enseigner cette notion dans une progression non pas idéale mais simplement pour le dire vite « mathématiquement et pédagogiquement correcte »

3) elle oublie d’évoquer des éléments qui sont indispensables si l’on veut pouvoir avancer : quelles sont les connaissances possédées par les élèves à qui l’on fait ce cours ?

Ceci dit

** Pour juger sur pièces le cadre dans lequel j’enseignais la « nouvelle convention », je vais mettre en ligne le polycopié du chapitre « Parenthèses – Priorités opératoires » et je donnerai quelques raisons qui me poussaient à agir ainsi, raisons qui ne figurent pas toutes dans le polycopié qui était destiné aux élèves.
** A partir de quand a-t-on besoin d’employer des parenthèses en primaire ?
** Etc.

Globalement je pense que la question de fond n’est pas la convention en elle-même mais ce qui pousse un certain nombre d’enseignants à enseigner cette convention ; or tout le monde semble d’accord sur le fait que si certains enseignants jugent nécessaire cet enseignement c’est à cause « de la présence des calculettes » (j’emploie à dessein cette formulation ambigüe mais on la précisera). Dans ces conditions, je modifierai bien la conclusion du texte du 18 pour arriver à quelque chose du type :

« On constate depuis de très nombreuses années, sûrement pour le primaire, une utilisation abusive des calculettes qui a de nombreuses conséquences négatives. Il serait donc utile, en s’intéressant d’abord au primaire [Note 4] à cause de son rôle fondateur, de tenter d’empêcher ce « type de pratiques » [Note 5]. Quels moyens peut-on imaginer pour la contrer ? Pétition disposée sur Images Mathématiques ? Prise de position des mathématicien(ne)s du CNRS ? Charte de référence des conventions mathématiques scolaires de base signée par une poignée de médaillés Fields ? »

Bonne lecture. Je fournis les autres documents comme cadeaux de Noel :-)

Michel Delord, 21 décembre 2016

[Note 1] Et mon engagement critique dans la question « de l’informatisation de l’école » ne date pas d’hier puisque la revue « L’Inventaire » vient de republier une version remaniée de mon texte de 2002 « NTIC à l’école : un pas de plus dans l’enseignement taylorisé d’une pensée taylorisée ? »

[Note 2] Elle n’est pas si « nouvelle » puisque je l’enseignais déjà il y a trente ans.

[Note 3] : Lorsque je dis « vraies catastrophes » je ne parle pas seulement d’une question principalement quantitative qui serait l’allégement portant sur des questions essentielles des programmes du primaire et du collège (et l’effet de ces allègements sur les capacités des élèves), je vise une question qualitative qui faisait partie du titre de la pétition contre les programmes du primaire de 2002 qui accusait ces programmes – et ce n’était pas une provocation – de « proscrire toute forme de pensée cohérente »

[Note 4] Vite dit, à mon sens, mais cela se discute, le primaire finit au moment où l’on introduit le calcul algébrique et la démonstration en géométrie.

[Note 5] Au vu de la pression médiatique et pédagogique pour l’emploi systématique des calculatrices en primaire, je serais assez favorable à l’interdiction des calculettes en primaire mais ça empêche de poser des problèmes formateurs du type : en utilisant votre calculatrice, effectuez la division suivante (potence)

3 7 3 5 4 7 3 1 2 | 4230316
|

|

Ce qui fait que j’opterais plutôt, puisque avoir une position sur l’emploi des calculatrices implique d’en avoir une sur la connaissance des algorithmes des opérations, pour une position du type : la calculatrice n’est pas l’outil courant de calcul en primaire (les enseignants peuvent toujours choisir des données qui permettent un calcul sans calculettes) et son emploi est réservé à ce qui permet d’améliorer la connaissance du fonctionnement des calculatrices et la connaissance des algorithmes (et d’abord des algorithmes humains) des opérations.

Et justement, il est question de calculatrices dans le dernier numéro de « The Atlantic », intitulé « The Common High-School Tool That’s Banned in College »
Bonne lecture

MD

De telles difficultés sont à mon avis l’occasion de (se) rappeler qu’il s’agit là de conventions, c’est-à-dire de choix fondamentalement arbitraires, qu’on espère pratiques. L’exemple des langages informatiques montre la variété des choix jugés raisonnables par leurs auteurs (exécution de gauche à droite ou bien... de droite à gauche ou encore notation postfix). Cela peut aider les élèves à se défaire de l’illusion selon laquelle tout énoncé d’allure mathématique possèderait un sens a priori.

« Bien des vérités auxquelles nous nous accrochons dépendent de notre point de vue. »

(Obi Wan Kenobi, wookipedia)