17 décembre 2016

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 21 décembre 2016 à 02:56, par Jérôme SALMON

    En réalité, je trouve que le problème vient d’une écriture qui n’a pas lieu d’être...
    Lorsqu’une expression ne contient que des nombres, il n’y a pas lieu de ne pas écrire le signe de la multiplication.
    Personne ne remplacerait 2 * 3 par 2.3 (ni même par 23 !).
    De la même manière, je ne me vois pas écrire 2 * (9 + 3) autrement que ce que je vient d’écrire même si je comprendrais aisément l’écriture 2(9 + 3) ou 2.(9 + 3). Ces écritures ont tout leur sens dans des expressions algébriques ou, au contraire, je n’écrirai pas 2 * ( x + 3) mais plutôt 2(x + 3).
    Aussi, avec l’écriture de tous les symboles utiles, l’expression 48 / 2 * (9 + 3) ne me semble plus laisser de doute quand à son résultat.
    De même qu’en algèbre l’écriture a/b(c + d) n’aura jamais la valeur de a/[b(c + d)].
    *
    Auriez-vous d’ailleurs interprété de la même manière les expressions ci-dessous ?
    48/2(9+3)
    48/(9+3)2
    48/2(x+3)
    48/(x+3)2
    Pour moi, les deux premières n’ont pas de sens du fait de l’absence (injustifiée à mes yeux du signe de la multiplication) alors que la troisième signifie clairement à mes yeux (48/2)(x+3) et je pense qu’il en est de même pour tout le monde. Je ne vois pas ce qui permettrait de l’interpréter comme 48/[2(x+3)]. D’ailleurs pour moi, la quatrième n’a pas de sens n’ont plus mais si je rétablissait le signe de multiplication manquant, je pense que personne ne l’interpréterait comme la troisième mais que tout le monde s’accorderait à lui donner le sens de [48 / (9 + 3)] * 2. Pourquoi alors une telle différence de traitement ?
    *
    Ce qui à mon sens démontre bien que tout le monde use de la priorité du sens de lecture quand il s’agit d’opération de même niveau de priorité.
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    Je pense que l’ambiguïté vient d’écritures, données en exemple plus haut, et que beaucoup semblent accepter comme telles :
    1/2x pour 1/(2x) (car sinon nous aurions écrit x/2 ou ½x)
    cos 2x pour cos (2x) (car sinon nous aurions écrit x.cos 2 ou (cos 2).x explicitement)
    Ces écritures sont tout de même souvent utilisées par tous et acceptées sans ambiguïtés car elles permettent d’éviter la lourdeur des parenthèses dans des calculs écrits en ligne mais il est clair que l’écriture des mathématiques n’est pas faite pour se faire sur une ligne et qu’alors l’ambiguïté est levée par d’autre stratagèmes comme les traits de fraction ou la barre de la racine.
    *
    Imaginons aussi le problème dans l’autre sens.
    Comment écririons-nous l’expression sur une seule ligne qui correspondrait au produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3 ? Et celle qui correspondrait au quotient de 48 par le produit de 2 par la somme 9 et de 3 ?
    Pour ma part, la réponse à la première expression est : 48 / 2 * (9 + 3).
    Et la réponse à la seconde : 48 / [2 * (9 + 3)].
    Si j’acceptais que ma première expression exprime le deuxième calcul alors comment pourrais-je écrire une expression qui exprime mon premier calcul ?
    Sauf à utiliser des propriétés des opérations ce qui à mon sens n’a pas lieu d’être ici car si je demande à un élève d’écrire le produit de 5 par 3, je n’attends pas qu’il m’écrive le produit de 3 par 5 même si, mathématiquement, les produits sont égaux.
    *
    Un autre biais, me semble-t-il, qui donne son ambiguïté au calcul proposé, vient du fait qu’avec l’habitude, nous prenons le soin de clarifier ce genre d’expression par sa présentation après l’avoir travaillée afin de lui donner un aspect plus explicite.
    Si je dois écrire en ligne une expression égale produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3, je pense que j’écrirai plutôt 48(9+3)/2 car nous savons tous que dans ce genre d’expression, il vaut mieux « effectuer » le produit avant de diviser afin d’avoir plus de chance d’obtenir un résultats exact.
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    Pour information, je viens de vérifier, avec la calculatrice que la majorité de mes élèves de collège utilisent que selon le calcul entré dans la machine, le résultat donné n’est pas le même !!!!!!
    48 : 2(9 + 3) = 2 mais 48 : (9 + 3)2 -> syntax error et 48 : 2 * (9 + 3) = 288 = 48 : (9 + 3) * 2 !!!!!!
    N’y aurait-il pas, là, matière à créer une nouvelle convention ?

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