21 avril 2017

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  • Avril 2017, 3e défi

    le 21 avril 2017 à 10:03, par Daniate

    Réponse

    AX = 5DY

    Démonstration

    E,F et I sont les milieux de [BC],[AD] et [AF] H,G et J sont les intersections de (XY) avec (AE), (EF) et (AD).

    On commence par démontrer que AXEG est un losange puis que G est le milieu [XY] . On en déduit XY = 4XH

    Les triangles AHX et JHA sont semblables à ABE donc HJ = 2HA = 4XH

    Il vient XJ = 5XH = 5JY . Il reste à projeter orthogonalement [XJ] sur [XA] pour obtenire la réponse.

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    • Avril 2017, 3e défi

      le 21 avril 2017 à 15:40, par ruello

      ABCD est-il un carré ?

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      • Avril 2017, 3e défi

        le 21 avril 2017 à 17:01, par Daniate

        Bonne remarque, je me suis appuyé sur la figure, mais rien n’est dit dans le texte . Je retourne au problème.

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        • Avril 2017, 3e défi

          le 21 avril 2017 à 17:16, par Daniate

          En appliquant la démonstration à un rectangle dont le rapport hauteur sur largeur est k, on trouve un rapport AX sur DY égal à (4k²+1) sur (4k²-3).

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          • Avril 2017, 3e défi

            le 21 avril 2017 à 18:33, par ruello

            J’obtiens le même résultat en utilisant les différents triangles rectangles de la figure.
            Soit A’ le milieu de [BC], D’ le quatrième sommet du trapèze XA’D’Y.
            x = AX et y =DY, AB =L et AD = l
            On a (L-x)² + l²/4=x² d’où 8Lx = 4L² + l²
            A’Y² = l² +y² = l²/4 + (L-y)² d’où 8Ly = 4L² -3l².
            En posant k = L/l
            Le rapport x/y = AX / DY = ( 4k² +1)/(4k² -3)
            Si k² = 3/4 alors Y = D.
            pour que Y soit sur le segment [DC], k² doit être supérieur à 3/4

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