2x=A.A ou puisque A doit alors être divisible par 2 (car A.A doit être divisible par 2 et le carré ne rajoute pas de plus petit diviseur premier, ici, 2 donc c’est que A est divisible par 2) , 2x=2.a.2.a ou x est multiple de 2.
3x=B.B.B ou puisque B doit être divisible par 3, 3x=3.b.3.b.3.b ou x est multiple de 9.
Donc x est multiple de 18.
Mais quel multiple ?

x=k.18=k.2.3^2.
Si 2x est un carré, c’est que, vue l’écriture, 2.(k.2.3^2)=k.36.
k est donc lui-même un carré d’entier.
Si 3.x est un cube, c’est que, vue l’écriture, 3.(k.2.3^2)=2^(3n).3^(3m) ou k=2^(3n-1).3^(3m-3).
Puisque k est un carré, il faut que 3n-1 soit un multiple de 2 et 3m-3 aussi, tout en étant les plus petits possibles.
Donc n=1 et m=1 conviennent.
Ils donnent alors k=2^2.3^0 ou k=4 ou x=72.
La suite est alors, dans l’ordre, pour les différents quadruplets (n,m,k,x) : (1,1,4,72) ; (3,1,256,4608) ;(1,3,2916,52488) ; etc.
x=72.

1^ère coquille : ça commence bien !!!
Dans ma 2^ème généralisation (avec 5x comme puissance 5^ème) il faut lire 2¹⁵3²⁰5²⁴n³⁰ !