31 juillet 2017

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  • 4.8.14

    le 20 mars à 17:28, par Hébu

    Un triangle $ABC$, $M$ le milieu de $BC$. Un cercle quelconque passe par $B$ et $C$. La circonférence coupe $AB$ en $F$ et $AC$ en $E$. $CF$ et $BE$ se coupent en $H$ et $AH$ coupe $BC$ en $D$.

    Les points $D, E, F$ et $M$ sont cocycliques.

    .

    On va utiliser les propriétés des quadrilatères complets : $BFEC$, complété des points $A$ et $J$ est un quadrilatère complet. On sait que, alors, les droites $(AB, (AD), (AC), (AJ)$ forment un faisceau harmonique, c’est à dire que toute droite coupant le faisceau donne lieu à division harmonique.

    C’est une propriété réutilisée dans d’autres figures (4.8.22, etc).

    .
    Ici, la droite $(BJ)$ donne donc une division harmonique : $DB/DC=-JB/JC$.

    Une relation dite << de Mac-Laurin >> permet d’écrire la division harmonique d’une façon différente. Si $M$ est le milieu de $BC$, la relation s’écrit $JC\times JB=JD\times JM$.

    (pour cette relation, cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Division_harmonique et https://www.geogebra.org/m/DhPsuJ3c)

    .
    Soit maintenant un cercle passant par $D, E$ et $F$. Il coupe à nouveau $BC$ en un point $M'$.

    La puissance de $J$ par rapport à ce cercle s’écrira $JE\times JF=JD\times JM'$.

    Mais les deux cercles admettent la droite $(EF)$ comme axe radical. La puissance de $J$ sera identique pour les deux cercles, de sorte que $JE\times JF=JC\times JB=JD\times JM'=JD\times JM$.

    Il faut donc que $M$ et $M'$ soient confondus.

    Document joint : idm4-8-14.jpg
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