1er décembre 2017

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  • Décembre 2017, 1er défi

    le 1er décembre 2017 à 18:40, par Niak

    La somme des $m$ premiers impairs est $m^2$, celle des $n$ premiers pairs ($0$ inclus) est $n(n-1)$. On cherche les solutions entières positives de $m^2-n(n-1)=212$, i.e. $n^2-n-(m^2-212)=0$ (trinôme en $n$) d’où $n=\frac{1\pm\sqrt{\Delta}}{2}$ avec $\Delta=4m^2-847$.

    Comme $n$ est un entier positif, le $\pm$ est un $+$ et $\Delta=4m^2-847=\delta^2$ pour $\delta$ un entier positif.

    On a donc $(2m-\delta)(2m+\delta) = 847=7\times11^2$ d’où, en considérant les factorisations possibles sachant que $2m-\delta\leq2m+\delta$, $(2m-\delta,2m+\delta)=(1,847)$ ou $(7,11^2)$ ou $(11,7\times11)$.

    Cela donne $(m,\delta)=(212,423)$ ou $(32,57)$ ou $(22,33)$ et finalement $n=212$ ou $29$ ou $17$. La somme des $n$ solutions est donc $212+29+17=258$.

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