On part d’un carré 2x2 rempli par 1 1 puis 0 -1. On l’agrandit par une couronne dont les 4 angles reprennent le même motif, le reste est complété par 1 s’il complète un alignement strictement positif et par -1 sinon. Cette construction se répète à l’identique pour passer d’un carré 2nx2n à un carré 2(n+1)x2(n+1).

Même solution que Daniate.
Mon raisonnement était de partir avec un carré où la première ligne est remplie de 1, et à chaque ligne suivante on change le 1 le plus à droite en -1. Ainsi, chaque ligne a une somme différente, mais les colonnes ont les même sommes que les lignes.
Pour y remédier, en jouant avec les zéros, j’ai trouvé que l’on peut remplacer par des zéros les nombres sur la moitié de la diagonale, soit en bas à gauche, soit en haut à droite. Exemple avec un carré de 4×4 :
1 1 1 1              1 1 1 0
1 1 1 -1     ou   1 1 0 -1
1 0 -1 -1           1 1 -1 -1
0 -1 -1 -1          1 -1 -1 -1
On obtient alors pour les sommes pour un carré de N×N :
- d’un côté : N, N-2, N-4, ...2, -1, -3, ... -(N-1), de l’autre :
- de l’autre : N-1, N-3, N-5, ..., 1, 0, -2, -4,... -(N-2)
En gros, un côté a pour sommes les nombres pairs positifs et impairs négatifs plus N, et l’autre les nombres pairs négatifs et nombres impairs positifs plus 0.
Bien sûr on peut aussi avoir les carrés «transposés», et les carrés miroirs avec les zéros sur l’autre diagonale.

Je ne sais pas s’il y a ou pas de solution quand N est impair...