Mars 2018, 2e défi

Défis du calendrier mathématique

Un club a trois disciplines : athlétisme, natation et cyclisme. Chaque mois, les membres paient 49 €, pour une activité et, s’ils en pratiquent deux, ils paient 40 €, pour chacune d’elles.

Le 9 mars 2018, par Ana Rechtman - 7 commentaires

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• Mars 2018, 2e défi

  le 9 mars 2018 à 17:07, par Niak

  Soient $a$ et les $b$ les nombres d’athlètes payant $40$ et $49$€ respectivement. $40a+49b=1198$ et donc $9b\equiv38\bmod{40}$. Or $9$ est premier avec $40$, donc inversible multiplicativement modulo $40$ et en l’occurrence d’inverse lui-même ($9^2=81\equiv1\bmod{40}$), d’où $b\equiv9\cdot38\equiv22\bmod{40}$. Comme $0\leq b\leq\left\lfloor\frac{1198}{49}\right\rfloor=24<40$ on en déduit $b=22$ puis aisément $a=3$. Il y a donc $a+b=25$ athlètes.

  De même, en natation, on aura $b'\equiv9\cdot1269\equiv21\bmod{40}$ (et $b'\leq25$), d’où $b'=21$, $a'=6$ et $27$ nageurs.

  Enfin, $b''\equiv9\cdot1572\equiv28\bmod{40}$ (et $b''\leq33$), d’où $b''=28$, $a''=5$ et $33$ cyclistes.

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