Formons des duos de chiffres dont l’addition se termine par 2 : (0,2), (9,3), (8,4), (7,5), (6,6) et (1,1). Nous pouvons éliminer les deux derniers duos, puisque chaque chiffre doit être différent. Restent quatre possibilités, mais trois d’entre elles impliquent une retenue dans l’addition. Retenons (0,2), dans notre solution (pour simplifier je ne tiens pas compte du cas contraire, qui nous conduit plus vite à l’épuisement des possibilités). L’utilisation d’un des trois duos restant (9,3), (8,4) et (7,5) nous fait chercher des duos se terminant par 1 (à cause de la retenue précédemment mentionnée et s’y ajoutant) : (6,5), (7,4), (8,3), (9,2), (0,1). Nous ne pouvons utiliser (0,1), que de toute évidence nous ne pouvons mettre en tête de calcul (chiffre commençant par 0), ni ensuite car ne générant pas de retenue. Mais, les éléments de chacun des quatre premiers duos se retrouve dans un des trois duos retenus précédemment, n’en laissant que deux, et ne formant au total que quatre 2.

Il m’est difficile d’être clair, mais j’espère que vous aurez compris la démarche, et parviendrez à mieux l’expliquer.

Les 10 chiffres de départ ont une somme égale à $45$ — donc divisible par $3$. Les deux nombres formés séparément peuvent ne pas être divisibles par 3, mais leur somme devrait l’être. Et comme $122\,222$ n’est pas multiple de $3$, on ne doit pas avoir de solution.

Le raisonnement demanderait un peu de polissage...

Disons qu’une paire de chiffres distincts $(a,b)$ est de type $r$ si $(a+b) \mod 10 = r$.
La somme $122222$ impose que les chiffres de même rang des deux nombres forment toujours une paire de type $1$ (si on ajoute une retenue) ou $2$ (sans retenue).
Il faut donc partager les $10$ chiffres en $5$ paires disjointes de type $1$ ou $2$.
Mais on note que les derniers chiffres des deux nombres doivent former une paire de type $2$ car pour eux il n’y a pas de retenue à ajouter.
L’ensemble des paires de type $1$ ou $2$ forme un graphe qu’on peut représenter par la chaîne $1029384756$, où deux chiffres sont voisins s’ils forment une paire de type $1$ ou $2$.
Pour le chiffre $1$ on n’a que la paire $(1,0)$, ce qui exclut la paire $(0,2)$. La paire $(2,9)$ est alors obligatoire, ce qui exclut la paire $(9,3)$, etc.
De proche en proche on est conduit à la partition $(1,0),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$, dont toutes les paires sont de type $1$, d’où contradiction : la somme ne peut pas être $122222$.

Tout naturel est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 (base de la preuve par 9) . Donc quelle que soit la répartition des 10 chiffres en plusieurs nombres, la somme des nombres sera congru à la somme des 10 chiffres modulo 9 c’est à dire 0. Ce n’est bien sur pas le cas du nombre proposé qui est congru à 2.