10 septembre 2018

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  • 4.10.3

    le 11 septembre 2018 à 10:30, par Sidonie

    Notations : Grand triangle ABC avec A sommet de l’angle droit. (AH) hauteur. D centre du cercle inscrit dans ABH. F point de tangence de ce cercle avec (AB), G point de tangence de l’autre cercle avec (AC). P point d’intersection de (FD) et (BC). Q projeté orthogonal de P sur (AC) . b est la mesure de l’angle ABC. Le problème se ramène à prouver que G et Q sont confondus.

    L’égalité entre les bras de tangentes et un système 3x3 montre que AG=(AC + AH - HC) / 2.

    De même BF= (BA + BH - AH) / 2 d’où BF/BA=(1+ cosb - sinb)/2. Ce rapport se projette via le théorème de Thalès sur (BC) puis sur (AC) pour obtenir AQ/AC=(1+ cosb - sinb)/2.
    Ce qui devient AQ=(AC + ACcosb - ACsinb)/2=(AC + AH - AC) / 2=AG

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  • 4.10.3

    le 11 septembre 2018 à 15:44, par Hébu

    Oui.

    Ne peut-on pas faire l’argumentation suivante ?

    .

    1/ A cause des angles droits (en $A$, $F$ et $Q$), $AFPQ$ est un rectangle, et $FP=AQ$.

    .

    2/Dans les triangles $ACH$ et $BAH$, semblables, $AG/BF=AC/AB$. Ce dernier rapport est la tangente de l’angle en $B$, qu’on peut aussi écrire $FP/BF$. On a donc $AG/BF=AC/AB=FP/BF$.

    .

    On en déduit que $AG=FP$, et donc que $AG=AQ$ — les points $G$ et $Q$ confondus.

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    • 4.10.3

      le 14 septembre 2018 à 14:58, par Sidonie

      Bonjour, c’est en effet plus simple. A tout hasard, même si cela n’est pas utile pour l’instant, peut être avez vous remarqué qu’en appelant M et N les intersections de (DE) avec (AB) et (AC) on obtient AM = AN.

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